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1、5.4 函数的单调性与极值,函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？,一、函数单调性判别法,f(x)0,f(x)0,观察结果,函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零,观察与思考,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,定理1（函数单调性的判别法）,设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调减少,由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f(x)(x2x1)(x10 x2x10 所
2、以 f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2)这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加,证明 只证(1),在(a b)内任取两点x1 x2(x1x2),说明 1、判别法中的开区间可换成其他各种区间 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f(x)0(0)如：函数f(x)x3在()上严格单调增加 但 f(0)0,函数单调性的判别法,设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调减少,例1 求函数yx+sin x 的单调区间
3、,函数单调性的判别法,设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调减少,解 函数的定义域为R f(x)1+cos x0故 f(x)在R上单调增加 但 f(x)1+cos x=0仅当 x=(2k1)kZ时成立，即 f(x)的驻点不填满任何区间故 f(x)在R上的严格单调增加,说明 一般地 如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正(或负)时 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的,讨论函数yx3的单调性 解 函数的定义域为()y3x2
4、 显然当x0时 y0;当x0时 y0 因此函数yx3在区间(0及0,)内严格单调增加 从而函数在整个定义域()内严格单调增加,例2,1 设函数 yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f(x)的两个相邻的零点 问f(x)在x1 x2上是否单调？,讨论,结论：由单调性判别法可知f(x)在x1 x2上一定单调。,2.设函数 yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f(x)的两个相邻的零点 问f(x)在(x1 x2)内符号如何判断？,结论：只要求出(x1 x2)内某一点的符号，即可知 f(x)在(x1 x2)内符号,3 如何把区间a b划分成一些小区间 使函数
5、 f(x)在每个小区间上都是单调的？,结论：解出使f(x)=0的点，以这些点为分界点划分a b,例3 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间,解 这个函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点为x11、x22 列表分析,函数f(x)在区间(1和2)内单调增加 在区间1 2上单调减少,(1),(1 2),(2),y2x39x212x3,解 函数的定义域为(),所以函数在0)上单调增加,因为x0时 y0,所以函数在(0 上单调减少,因为x0时 y0,例4,说明 导数不存在的点也可作为分界点,(1)确定函数的定义域(2)求出f(x),令f(x)=0，求出方程的根
6、及一阶导数不存在的点作为分界点(3)用分界点把定义域分成若干个开区间(4)判断或列表判断f(x)在各个开区间上的符号，由单调性判别法可确定单调区间,确定函数单调区间的步骤,求函数yx3(1 x)的单调区间,函数f(x)在区间(内单调增加 在区间）上单调减少,练习1：,(0),(0),(),f(x)=3x24x3=x2(34x),令f(x)=0，,列表分析,解得x=0，x=,解：定义域为(),解 设函数f(x)=ex x 1 因此只需证：当x 0时，f(x)0,例5 求证当x 0时 ex 1+x,求导数 f(x)ex1,列表判断：,又因 f(0)=0,所以x 0时，f(x)0 即 ex 1+x（
7、x 0）,(0),(0),+,因为当x1时 f(x)0 所以f(x)在1)上f(x)单调增加 因此当x1时 f(x)f(1)=0 即,例6,证明,二、极值及其判别法,定义 设函数f(x)在(a,b)内有定义，x0 是(a,b)内一点，若点x0存在一个邻域，使得对此邻域内任一点x(x x0)总有,(1)f(x)f(x0),则称f(x0)为 函数f(x)的一个极小值，称x0为函数f(x)的一个极小值点,函数极大值与极小值统称为极值。极大值点与极小值点统称为极值点。,a,b,A,C,B,D,E,F,y=f(x),极值与最值的区别,（1）最值是在一个区间上考虑，是整体的、绝对的、唯一的；而极值只就某个
8、邻域来考虑，是局部的、相对的、不唯一的。（2）最值可取端点，极值不会取到端点。（3）一个区间上最大值一定大于或等于最小值，但极大值未必大于极小值。,问题：如何求函数的极值点？,y=f(x),定理2（极值存在的必要条件）,如果函数f(x)在点x0处有极值f(x0)，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0,a,b,A,C,B,D,E,F,y=f(x),驻点：使导数f(x)为零的点（即方程f(x0)=0的实根）称为函数f(x)的驻点，又称稳定点。,可导的函数f(x)的极值点必为f(x)的驻点，但驻点不一定是极值点。,如：函数f(x)x3 f(x)3x2 显然 当x0时 f(x)0即 x0为f(x)的
9、驻点但 x0不是f(x)的极值点,导数不存在的点也有可能为极值点 因此，所有可能为极值点的点是方程f(x0)=0的根及导数不存在的点,关于极值点与驻点的关系：（1）两类点定义的出发点不同。极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点邻域内任何其它点的函数值；驻点是指导数为零的点 因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点一定是可导点。（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导，则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；（3）驻点成为极值点的条件：若f(x)在驻点左右邻域内符号相反，则此驻点一定为极值点,定理3（极值的第一判别法）,设函数f(x)在x0点的某一邻域(x0,x0)内连续，除点
10、x0外，在此邻域内可导，其导数f(x)在点x0的左右附近保持着确定的符号，这时有三种情况：（1）当x0，当x x0时，f(x)x0时，f(x)0，则f(x)在x0点取得极小值；（3）f(x)在经过x0点时不改变符号，则f(x)在x0点不取极值。,例7 求函数f(x)2x39x212x3的极值,解 函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)令f(x)=0，得驻点为x11、x22 用驻点将定义域分成三个区间，列表,故函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)=2，在x=2处取得极小值f(2)=1,(1),(1 2),(2),y2x39x212x3,1,2,极大值2,极小值1,0,0
11、,例8 求函数f(x)(x2 1)3 1的极值,解 函数的定义域为()f(x)6x(x2 1)2 令f(x)=0，得驻点为x10、x21、x3 1 用驻点将定义域分成四个区间，列表,(1),(1),(1 0),(0 1),故函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0,无极值,无极值,极小值0,1,1,0,0,0,0,解 函数的定义域为(),所以函数在0)上单调增加,因为x0时 y0,所以函数在(0 上单调减少,因为x0时 y0,例4,故函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0,说明 导数不存在的点也有可能为极值点,例9 证明二次函数y ax2 bx c(a0)的极值点为，并讨论它的极值,
12、证明：函数y ax2 bx c(a0)的定义域为()y=2ax+b,(1)若a 0，则,当x 时，,当x 时，,故x0=是函数的极小值，,有y=2ax+b=2a(x+)0,有y=2ax+b=2a(x+)0,且极小值为,令 y=2ax+b=0，得驻点为x0=,(2)若a 0，则,当x 时，,当x 时，,故x0=是函数的极大值，,有y=2ax+b=2a(x+)0,有y=2ax+b=2a(x+)0,极大值为：,求函数极值(第一判别法)小结：(1)确定函数的定义域(2)求出f(x),令f(x)=0，解方程得驻点及导数不存在的点为分界点(3)用分界点把定义域分成若干个开区间(4)判断或列表判断f(x)在
13、各个分界点左、右的符号，由极值第一判别法可确定函数极值,练习2：,用极值第一判别法求函数 的极值,解：定义域为(),令f(x)=0，解得x10、x22列表分析,(0),(0 2),(2),0,2,0,0,极小值0,极大值2e-2,故函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0,在x=2处取得极大值f(2)=2e-2,定理4（极值的第二判别法）,设函数f(x)在点x0处有二阶导数且f(x0)=0，f(x0)0，则（1）当f(x0)0时，函数f(x)在x0点取得极小值。,证：（1）由于 f(x0)0，故由二阶导数的定义，有,由2-4定理4，当x在x0的足够小的邻域内且不等于x0时,但f(x0)=0
14、，所以有,因此对于x0的足够小的邻域内的不等于x0的x应有f(x)与x x0异号，当x x0 0，即x x0时f(x)0 当x x0 0，即xx0时f(x)0由定理3知f(x)在 x0点取极大值。同理可证（2）,定理4 只对f(x0)0时适用，当f(x0)=0时，只能用第一判别法判断x0点是否为极值点,例10求曲线f(x)x4 2x3 的极值点,解求一阶导数：f(x)4x36x22x2(2x3),故,当x10时，f(0)=0，不能用定理4来判别，由定理3：,是f(x)的极小值,(0),0,(0),0,无极值,故x10不是曲线的极值点,令f(x)=0，得驻点为x10、x2,求二阶导数：f(x)1
15、2x212x12x(x1),当x2 时，,练习3：,解：,令f(x)=0，解得x10、x22,故函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0,在x=2处取得极大值f(2)=2e-2,用极值第二判别法求函数 的极值,小结：,（1）单调性判别法,（2）判断函数单调性的步骤,（3）极值的定义,设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导(1)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调增加(2)如果在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上严格单调减少,(1)确定函数的定义域(2)求出f(x),令f(x)=0，解方程求分界点(3)用分界点把定义域分成若干个开区间(4)判断或列表判断f(x)在各个开区间上的符号，由单调性判别法可确定单调区间,（4）极值第一判别法及步骤,（5）极值第二判别法及步骤,第二判别法求函数极值的步骤：(1)求一阶导数f(x)，令f(x)=0 得驻点x=x0；(2)求二阶导数f(x)，并求出f(x0)的值；(3)当f(x0)0时，由极值第二判别法得出x0为极值点；当f(x0)=0时，由极值第一判别法判断x0点是否为极值。,作业：,
