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1、第十节 函数的极值与最大、最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大与最小值问题,一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义,设 f(x)在区间(a,b)内有定义,x0(a,b),若对任意的 xU(x0,)(a,b)且 x x0,有,(1)f(x)f(x0),则称 f(x0)是 f(x)的一个极大值,称点 x0 为 f(x)的一个极大值点;,(2)f(x)f(x0),则称 f(x0)是 f(x)的一个极小值,称点 x0 为 f(x)的一个极小值点.,函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.,例如,x=1 为极大值点,f(1)=2是极大值;,x=2 为极小值点,f(1)=2
2、是极小值.,例如,x=0为极小值点,f(0)=0是极小值.,注意:,函数的极值是函数的局部性质.,x1,x4,x6 为极小值点,x2,x5 为极大值点,x3 不是极值点.,例,2.函数极值的求法,注意:,例如,函数的驻点及不可导点称为可疑极值点.,函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,定理 1(极值第一充分条件),设函数 f(x)在点 x0 处连续,在点 x0 的某去心 邻域内可导,(是极值点情形),(不是极值点情形),求极值的步骤:,(1)求驻点及不可导点,(3)求极值,(2)检查 在这些点左右的符号,判断是否为极值点,例1,解,极大值,极小值,不存在,是极大值点，,其极大值为,是极小值点
3、，,其极小值为,定理 2(极值第二充分条件),证,例2,解,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,注意:,例如,x=0 不为极值点.,x=0 为极小值点.,例,解,例3,二、最大值、最小值问题1.最值的求法,求最值步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;,则其最值只能在极值点或端点处达到.,2.应用举例,例1,解,计算,比较得,例,说明:,由于 g(x)与 f(x)最值点相同,因此也可通过求 g(x)的最值点来求 f(x)的最值点.,最大值,最小值的特殊情形:,1)如果区间内只有一个极值,则这个
4、极值就是最值.(最大值或最小值),3)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点.,例3 三角形 ABC 的底为 a,高为 h,求内接 的最大矩形面积.,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例4,解,如图,解得,三、利用最值证明不等式,不等式证明方法小结：,(1)利用中值定理,(2)利用单调性,(3)利用函数凸性,(4)利用最值.,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为可疑极值点,函数的极值必在可疑极值点取得.,极值判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,利用最大、小值证明不等式,定理(判别法的推广),则:,且,1)当 n 为偶数时,x=x0 为极值点,且,x=x0 为极小值点;,x=x0 为极大值点.,2)当 n 为奇数时,x=x0 不是极值点.,但点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点.,点(x0,f(x0)不是曲线 y=f(x)的拐点.,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,练 习 题,练习题答案,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练 习 题,练习题答案,
