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1、复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲山西忻州五寨一中 摄爱忠高考主要考查：求复合函数的单调区间；讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题“中间变量”是形成问题转化的桥梁. 函数思想是解决问题的关键复合函数定义：1. 设定义域为，的值域为，若，则关于的函数叫做函数 与的复合函数，叫中间变量外函数：； 内函数：复合函数的单调性：同增异减.2.若则增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值
2、范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1：已知函数y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：设y= logau，u=2-ax，a是底数，所以a0， 函数y=loga u在u0,1上是减函数，而u=2-ax在区间x0,1上是减函数， y= logau是u(0, +)上的增函数，故a1，还要使2-ax0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由 ，解得a2，1a0知函数的定义域为，因y= log0.5u在u(0,+)上是减函
3、数，而u= x2+4x+4在x(-，-3)上是减函数，在(-1，+ )上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x(-，-3)上是增函数；在x(-1，+ )上是减函数. 变式训练：讨论函数 的单调性。 解：函数定义域为R. 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指数函数在u(-，+)上是减函数， u=x2-4x+3在(-，2上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。 题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型. 例 题3： 函数y=2si
4、n( -2x)的单调递增区间是( )(A). (B). (C). (D). 解：令y=sinu，u= -2x，u= -2x 是R上的减函数，而y=sinu在u 2k+ ，2k+(kZ)上单调递减，根据函数单调性的复合规律，令2k+ -2x2k+ 得: 当k=0时， ， 故选(A) . 例 题4：讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性. 解：显然函数定义域为(0，+). 令 u=log2x，y=u2+u u=log2x在(0，+)上是增函数， y=u2+u在(-，上是减函数，在，+)上是增函数【注意】:(-，及，+)是u的取值范围.令，则0x，(u log2x x) 所以y=(log2
5、x)2+log2x在(0，上是减函数，在，+)上是增函数。 用数轴标单调区间如下： 求复合函数的定义域；求内函数在定义域内的单调区间；求外函数的单调区间；求外函数对内函数变量所对应的单调区间；在数轴上标出按“同增异减”写出复合函数的单调区间. 变式训练：求函数的单调区间【解析】（1）此函数的定义域：；（2）此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减；（4）外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围，必须将
6、外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围.函数的单调递减区间是 ；单调递减区间是 . 题型4：内外函数都有两种单调性的复合型. 例 题5：已知函数则（A）在区间上是减函数 （B）在区间上是减函数（C）在区间上是增函数 （D）在区间上是增函数【解析】设， ， 外函数：增区间 ；减区间 ； 内函数：增区间 ；减区间 当时，即1，x1或x-1；当时，即1，-1x1用数轴标出单调区间如下：显然，A正确. 变式训练：已知函数则的递增区间是 . 【解析】设，； 外函数：减区间 ； 增区间 内函数：减区间 ； 增区间 令；再令. 用数轴标出单调区间如下：故 的单调递增区间为 和. 求复合函数的定义域；求
7、内函数在定义域内的单调区间；求外函数的单调区间；求外函数对内函数变量所对应的单调区间；在数轴上标出按“同增异减”写出复合函数的单调区间. 练习题组：函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）.（A） （B） （C） （D）答案为B.【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视在恒成立.函数在上单调递增，则的取值范围是( ).（A） （B） （C） （D）（2013福建）函数的图象大致是 A BCD（2014天津）函数的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D）求函数的单调区间函数的单调区间是 .函数在上是增函数，求的取值范围函数的单调性判断错误的是（A）在递减 （B）在递
8、增 （C）在递减（D）在递增（2014年全国卷）若函数在区间是减函数，则的取值范围是_函数的单调递增区间是 .函数的单调递减区间是（ ）. 题型5：已知函数的单调性求参数范围型. 例 题5：已知函数在区间2，+)上是减函数，则实数a的取值范围是_。【解析】如下： 令u=x2-ax+3a，y=u 因为y=u在(0，+)上是减函数 f(x)=(x2-ax+3a)在2，+)上是减函数u=x2-ax+3a在2，+)上是增函数，且对任意x2，+)，都有u0。对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)0。 -4a4 若f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数，则a的取值范围是_。 【解析】令u=-ax+30，y=logau，由于a作对数的底数，所以a0且a1，由u=-ax+30得x。在0，1上，且u是减函数。 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数。 y=logau是增函数，且0，1(-， 1a3 所以a的取值范围是(1，3)。 试一试：练习已知函数在区间（，+）上是减函数，则实数的取值范围是若函数在区间（，）内单调递增，则的取值范围是若函数在上单调递增，则实数的取值范围是已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是7
