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1、（1）,一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：,（2）当 时，的方向与 的方向相同；当 时，的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,回顾旧知:,设 为实数，那么,第一分配律,第二分配律,练习：,已知非零向量，求向量 的模,结论：,是单位向量,与 反向的单位向量是,与 同向的单位向量是,与 平行的单位向量是,向量的共线定理,如图,D,E分别为ABC的边AB,AC的中点,(1)BC和DE的关系如何?(2)能否将DE用BC线性表示?,探索1,若|a|=3,|b|=6,a与b方向相同,能用a表示b吗？若|a|=3,|b|=6,a与b方向相反
2、,能用a表示b吗？,你能总结出向量共线的一个条件吗？,如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数,使ba,共线向量定理:,注:(1)定理包含正反两层意思;(2)定理的一个重要条件a0;(3)符号决定两个向量是同向还是反 向;的绝对值决定两个向量长度关系；,判断:,(1)若a/b则存在唯一的实数,使b=a;,(2)若a/b,则存在不全为零的实数,使a+b=0;,(3)已知a与b不共线,若a+b=0,则=0.,例1.如图,OAB中,C为直线AB上一点,ACCB（）求证：,分析:将已知条件中的AC，CB用结论式中的OA，OB，OC表
3、示，进而解出OC,运用,证明：因为ACOCOA，CBOBOC，又ACCB，所以OCOA（OBOC），即（）OCOAOB又因为，即，所以,特例：当时,你能得到什么结论？若C为线段AB的中点,O为任意一点,则,则,则P、A、B三点共线.,若O是平面上任意一点,且,例2.设e1,e2是两个不共线向量,判断下列各题中的向量a,b是否共线?(1)a=5e1,b=7e1;(2)a=e1 e2,b=3e12e2;(3)a=e1+e2,b=3e13e2.,共线,共线,运用,例3.设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1+e2,若A、B、D三点共线,求k的值
4、.,解：A、B、D三点共线,AB/BD，而AB=2e1+ke2,BD=CD-CB=e1-2e2，显然BD0，则存在实数使得AB=BD，即2e1+ke2=(e1-2e2)，,得(2-)e1+(k+2)e2=0，e1,e2不共线,2=0，k+2=0，解得k=4.,运用,例4.如图,已知G是OAB重心,求证：,B,C,A,D,运用,G,E,例5:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，求证：M、N、C三点共线.,所以三点共线,1.已知向量aee，b（ee），求证：a与b是共线向量,练习,2.已知MPee，PQee，求证：M，P，Q三点共线,3如图，在ABC中，记BCa，CAb，求证：,证明：,练习,4:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的()A外心B内心C重心D垂心,B,概念辨析,（）,（）,（）,（）,一、向量共线定理(a0)b=a 向量a与b共线,小结,再见,
