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1、概率论与数理统计,第 三 章,多维 随 机 变 量,概率论与数理统计,主要内容,一、二维离散型随机变量分布函数,二、联合分布函数的性质,3.2 二维离散型随机变量,一、二维随机变量的定义及其分布,设 是定义在同一概率空间上的两个随机变量，则称向量 为二维随机变量。,若 只取有限个或可列个向量值，则称向量 为二维离散型随机变量（向量）。,1设 是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为,(i,j=1,2,)注意。称 i,j=1,2,为二维随机变量 的联合分布列，简称为分布列。,定义1,2为直观起见，二维离散型随机变量的分布列也可以表示成如下表格的形式：,此表也称为概率分布表。,说明：1.若 为二
2、维r.v.，且 同为离散型rv 为二维离散型r.v.。,2.关于二维离散型r.v.，主要讨论两方面的问题。（1）取值范围；（2）以多大概率取值。,二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：,1)非负性：,2)规范性：,i,j=1,2，,3),的求法,利用古典概型直接求；,利用乘法公式,例1 将两个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中。令 表示放入1号盒子中的球数，表示放入2号盒子中的球数，试求：的联合分布律。,解,的可能取值分别为0,1,2，,由此得 的联合分布律为,边际分布（边缘分布）,二维随机变量 作为一个整体，它具有概率分布（联合分布列），而它的每一个分量，也是随机变量，因此自身
3、也具有概率分布（分布列），它们分别称为 关于的，边际（边缘）分布，记为 与。若 的联合分布为，i,j=1，2则,用表格表示如下：,例2.设把三个相同的球等可能地放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中球的个数为,落入第2号盒子中球的个数为,求,的联合,分布列及,的边际分布列.,解:,的可能取值为0,1,2,3.,因为,于是,在 或 时,.,表3.1,例3 设 的分布列如下表,求 及,.,解,二、离散型随机变量的独立性,定义 设随机变量 的可能取值为,的可能取值为,如果对任意的 有：成立,则称随机变量 与 相互独立。,注:1、两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响，,2、
4、随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。,定义 设 是n个离散型随机变量，的可能取值为,如果对任意的一组 恒有成立，则 称是相互独立的。,例4 的联合分布列为,试问：，为何值时，相互独立？,解,故 当 时，相互独立。,所以,例5.,的联合分布如下表,则=()时,相互独立.,a.(1/5,1/15),b.(1/15,1/5),c.(1/10,2/15),d.(2/15,1/10).,(c),例6.掷骰子两次,得到偶数点的次数记为,得到3点或,6点的次数记为,求,的联合分布与边际分布.,解.,的可能取值都为0,1,2.显然,相互独立,且,从而得联合分布表如下:,例7 把一枚均匀硬币掷三
5、次，设 表示头两次掷出正面的次数，表示这三次投掷中出现正面的总次数，试求 的分布列。,解 的可能取值为0,1,2，的可能取值为0,1,2,3 如(“头两次掷出1个正面，这三次共掷出2个正面”)(“头两次掷出1个正面，第三次掷出正面”)再如(“头两次掷出的正面数为0，这三次共掷出2个正面”),则得分布表为,例8 一批产品共8件，其中一等品2件，二等品2件，三等品4件，从中任取3件，令 为取到的一等品件数，为取到的二等品件数，试求 的分布列。,解,的可能取值为0,1,2，且 则,且,例9 袋中装有2只红球和3只绿球，从中有放回地取两次，每次取1球，记 为第一次取出的红球数，为第二次取出的红球数，问
6、 是否独立?,解,的联合分布列及边际,对任意的有，所以 相互独立。,分布列如下表：,例9（续）,若采用无放回方式取球，问 是否独立？,对任意的有，所以 不相互独立。,解,的联合分布列及边际分布列如下表：,设 是一个二维离散型随机变量，f(x,y)是实变量x和y的单值函数，这时 仍是一个离散型随机变量。,设,的可能取值为:,令,(i,j,k=1,2,),则有,特别地，当,独立，且取非负整数值时，我们有,上式常称为离散卷积公式。,三、二维随机变量函数的分布,例10 设二维r.v 的概率分布为,0 1 2,-1 1,求,的概率分布。,0,解 的可能取值为-2，-1，0，1，2，,P,-2-1 0 1
7、 2,0,例11 设二维r.v 的概率分布为,-1 1 2,-1 0,求,的概率分布。,解 根据 的联合分布可得如下表格：,P,+,-,/,(-1,-1),(-1,0),(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0),-2-1 0 1 1 2,0-1 2 1 3 2,1 0-1 0-2 0,1 0-1 0-1/2 0,故得,P,-2-1 0 1 2,P,-1 0 1 2 3,P,-2-1 0 1,P,-1-1/2 0 1,+,-,/,具有可加性的两个离散分布,设 B(k；n1,p),B(k；n2,p),且,独立，,则,B(n1+n2,p),设 P(1),P(2),且,独立，,则,P(1+2),二项分布可加性的证明,证:设,设 P(1),P(2),则,的可能取值为 0,1,2,Poisson分布可加性的证明,解,例12 设 为独立分布的离散型随机变量，其分布列为 n1,2,k,求 的分布列.,补充内容,定义1 设()是二维离散型随机变量.若对固定的,则称为在 条件下随机变量 的条件分布律.类似地,若对固定的,则称为在 条件下随机变量 的条件分布律.,补充内容,定义2 设()是二维离散型随机变量.若对固定的,则在 条件下 的条件分布为类似地,若对固定的,则在 条件下 的条件分布为,
