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1、第五章 习题课,一、向量内积的定义及运算规律,定义:设有n维向量,记x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn,称x,y为向量x与y的内积.x,y=xT y.,内积的运算性质,设x,y,z为n维向量,为实数,则(1)x,y=y,x;(2)x,y=x,y;(3)x+y,z=x,z+y,z;(4)x,x 0,当且仅当x=0时有x,x=0.,二、向量的长度及性质,称|x|为n维向量x的长度(或范数).,定义:令,向量的长度具有下述性质:(1)非负性:|x|0,当且仅当x=0时有|x|=0;(2)齐次性:|x|=|x|;(3)三角不等式:|x+y|x|+|y|.,单位向量及n 维向量间的夹角,(1)当
2、|x|=1时,称x为单位向量.(2)当|x|0,|y|0 时,称为n维向量x与y的夹角.,三、正交向量组的概念及求法,1.正交的概念,2.正交向量组的概念,若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.,当x,y=0时,称向量 x 与 y 正交.,由定义知,若x=0,则x与任何向量都正交.,3.正交向量组的性质,定理1:若向量组1,2,r 是n维正交向量组,则1,2,r 线性无关.,定义:设n维向量组e1,e2,en是向量空间VRn的一组正交基,且都是单位向量,则称e1,e2,en是向量空间V的一组规范正交基.,若e1,e2,er 是向量空间VRn的一组规范正交基,则对任意的 a
3、V,都有:a=1e1+2e2+r er 其中 i=erT,a=erTa,(i=1,2,r),4.求规范正交基的方法,(1)正交化(施密特正交化过程),设a1,a2,ar 是向量空间V 的一组基.,取 b1=a1,则b1,b2,br两两正交,且b1,b2,br与a1,a2,ar等价.,(2)单位化,取,则e1,e2,en是向量空间V的一组规范正交基.,四、正交矩阵与正交变换,定理:A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交.,若n阶方阵A满足ATA=E,即A-1=AT,则称A为正交矩阵.,正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规范正交基.,性质:正交变换保持向量的长度
4、不变.,定义:若P为正交阵,则线性变换 y=Px 称为正交变换.,即,五、特征值与特征向量的概念,定义:设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x成立,那末这样的数称为方阵A的特征值,非零向量x称为的对应于特征值的特征向量.,称以为未知数的一元n次方程|AE|=0为方阵A的特征方程.记f()=|AE|,它是的n次多项式,称其为方阵A的特征多项式.,设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,n,则有:(1)1+2+n=a11+a22+ann;(2)1 2 n=|A|.,六、有关特征值,特征向量的一些结论,若是矩阵A的特征值,则(1)是矩阵AT的特征值,(2)m是矩阵Am的特征值(m
5、为正整数);(3)当A可逆时,则-1是逆阵A-1的特征值.,还可以类推:若是矩阵A的特征值,则()是矩阵多项式(A)的特征值,其中()=a0+a1+amm,(A)=a0E+a1A+amAm.,定理:设p1,p2,pm是方阵A的分别对应于m个互不相等的特征值1,2,m的m个特征向量,则p1,p2,pm线性无关.,注意2:属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量;,注意3:矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一,但一个特征向量不能属于两个不同的特征值.,注意1:属于不同特征值的特征向量是线性无关的;,七、相似矩阵,定义:设A,B都是n阶
6、矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,定理1:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.,推论:若n阶方阵A与对角阵=diag(1,2,n)相似,则1,2,n 既是A的n个特征值.,相似矩阵的性质:,1.相似矩阵是等价的:(1)自反性;(2)对称性;(3)传递性.,3.P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P).,4.若A与B相似,则Am与Bm相似(m为正整数).,2.P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k
7、2P-1A2P.,其中k1,k2是任意常数,(A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1=P(a0E+a1B+amBm)P-1,=P(B)P-1.,即相似矩阵的多项式,有相同相似变换矩阵.,Am=PmP-1;(A)=P()P-1.,特别当矩阵A与对角阵=diag(1,2,n)相似时,则,而对于对角阵,有,k=,()=,结论:若f()为矩阵A的特征多项式,则矩阵A的多项式f(A)=O.,定理2:n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,八、实对称矩阵的性质,定理1:对称矩阵的特征值为实数.,定理2:设1,2是对称矩阵A的两个特征值,p1,p2
8、是对应的特征向量,若12,则p1与p2正交.,定理3:设A为n阶对称矩阵,是A的特征方程的r 重根,则矩阵(AE)的秩R(AE)=nr,从而对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.,定理4:设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使P-1AP=,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.,九、二次型及其标准形的概念,定义:含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn,称为二次型.,只含有平方项的二次型 f(x1,x2,xn)=k1y12+k2y22+knyn2,称为二
9、次型的标准形(或法式).,则二次型可记作 f=xTAx,其中A为对称矩阵(矩阵表示).,若记,对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵,f 叫做对称矩阵A的二次型,对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.,十、化二次型为标准形,定理1:任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵,且R(A)=R(B).,说明1:二次型 f 经可逆变换 x=Cy 后,其秩不变,但 f 的矩阵由A变为B=CTAC;,说明2:要使二次型 f 经可逆变换 x=Cy 变成标准形,就是要使,yT(CTAC)y=k1y12+k2y22+knyn2,也就是要使CTAC成为对角矩阵.,定理2:任给二次型,总有正交变换
10、 y=Px,使 f 化为标准形:,f=1y12+2y22+nyn2,其中1,2,n,是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:,1.将二次型表示成矩阵形式 f=xTAx,求出A;2.求出A的所有特征值1,2,n;3.求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组,从而有正交规范向量组 1,2,n;,十一、拉格朗日配方法的具体步骤,1.若二次型含有xi 的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线性变换,就得到标准形;,2.若二次型中不含有平方项,但是aij0(i j),则先作可逆线性变换:,化二次型为
11、含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.,(k i,j).,4.记P=(1,2,n),作正交变换x=Py,则得 f 的标准形:,f=1y12+2y22+nyn2.,十二、正定二次型,定义:设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f(0)=0.如果对任意的 x 0,都有 f(x)0,则称 f 为正定二次型,并称对称矩阵A为正定矩阵;如果对任意的 x 0,都有 f(x)0,则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵A为负定矩阵.,使 f=k1y12+k2y22+kryr2(ki 0),及 f=1z12+2z22+rzr2(i 0).,定理1(惯性定理):设有实二次型 f=xTAx,它的秩为r,有两个实
12、的可逆变换:,则k1,k2,kr与1,2,r中正数的个数相等.,x=Cy,及 x=Pz,定理2:实二次型f(x)=xTAx为正定的充分必要条件是它的标准形的n个系数全为正.,推论:对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正.,定理3(霍尔维茨定理):(1)对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶主子式为正,即,(2)对称矩阵A为负定的充分必要条件是A的奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即,正定矩阵具有以下一些简单性质:,1.若A为正定的,则AT,A-1,A*均为正定矩阵.,2.若A,B均为n阶正定矩阵,则A+B也是正定矩阵.,典型例题,一、证明所给矩阵为正交矩阵,方法1:证明矩阵的各
13、列(或行)元素满足正交条件,方法2:根据正交阵的定义,先求出AT,然后验证,ATA=E,例1:设a是n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明,A=E-(2/aTa)a aT 为正交矩阵,证明:先验证AT=A,然后根据正交矩阵的定义,验证ATA=E.,AT=E(2/aTa)aaTT=E(2/aTa)aaT=A,所以,矩阵A是对称的.,=E(2/aTa)aaTTE(2/aTa)aaT=E(2/aTa)aaTE(2/aTa)aaT=E(2/aTa)aaT(2/aTa)aaT+(2/aTa)2(aaT)(aaT)=E4/(aTa)aaT+4/(aTa)2(a(aTa)aT)=E4/(aTa)aaT+4/(a
14、Ta)2(aTa)(aaT)=E4/(aTa)aaT+4/(aTa)aaT=E,ATA,故A是正交矩阵.,特别当(aTa)=1时,A=E2aaT是正交矩阵.,二、线性无关向量组的正交规范化,将线性无关向量组化为正交单位向量组,可以先正交化,再单位化;也可同时进行正交化与单位化.,例2:已知向量,是线性无关向量组,求与之等价的正交单位向量组.,解一:先正交化,再单位化.,(1)取 1=1;,(2)令 2=2+k1,使得2与1正交,由于,1,2=1,2=1,2+k1,1=0,所以,故,(3)令 3=3+k11+k22,使得3与1,2正交,由于,1,3=1,3+k11,1+k21,2=0,2,3=2
15、,3+k12,1+k22,2=0,所以,故,(4)将1,2,3单位化,得,解二:同时进行正交化与单位化.,(1)取 1=1,并单位化得;,(2)令 2=2+k 1,使得2 与 1 正交,由于,1,2=1,2+k1,1=0,注意1,1=1,所以,故,(3)令 3=3+k11+k22,使得3与1,2正交,由于,1,3=1,3+k11,1+k21,2=0,2,3=2,3+k12,1+k22,2=0,注意1,1=2,2=1,1,2=0,则1,2,3为所求之向量组.,三、特征值与特征向量的求法,第一步:计算A的特征多项式;求出特征多项式的全部根,即得A的全部特征值;第二步:将每一个特征值代入相应的线性方
16、程组,求出基础解系;则该基础解系的非零线性组合即为该特征值的特征向量.,例3:计算3阶实矩阵A=,特征向量,的全部特征值和,解:第一步,计算A的特征多项式并求特征值:,|AE|=,=(8)(+1)2.,解之得A的全部特征值:1=8,2=3=1.,第二步,求出A的全部特征向量:,对1=8,求相应线性方程组(A8E)x=0的一个基础解系:,化简求得此方程组的一个基础解系:,属于1=8 的全部特征向量为:k11(k10为实数).,对2=3=1,求相应线性方程组(A+E)x=0的一个基础解系:,化简求得此方程组的一个基础解系:,属于2=3=1的全部特征向量为:,k11+k22,(k1,k2为不同时为零
17、的实数).,四、求与已知矩阵的相关矩阵的特征值,例4:设n阶方阵A的全部特征值为1,2,n,属于i 的特征向量为i,求P-1AP的特征值与特征向量.,解:首先证明,A与P-1AP有相同的特征值只需证明它们有相同的特征多项式.,|P-1APE|=|P-1APP-1P|,=|P-1(AE)P|,=|P-1|AE|P|,=|AE|,由于,所以,1,2,n就是P-1AP的全部特征值.,其次求P-1AP属于i 的特征向量.,已知,Ai=i i,即(Ai E)i=0,(P-1APiE)i=(P-1APi P-1P)i,=P-1(AiE)Pi,而,所以,(P-1APiE)(P-1i),=(P-1(AiE)P
18、)(P-1i),=P-1(AiE)(PP-1)i,=P-1(AiE)i,=0,(P-1APiE)(P-1i)=0,即,故,P-1i 是P-1AP属于i 的特征向量.,五、求方阵的特征多项式,例5:设A是n阶方阵,其特征多项式为 fA()=|AE|=n+an-1n-1+a1+a0,(1)求AT的特征多项式;(2)当A非奇异时,求A-1的特征多项式.,解:由于|ATE|=|(AE)T|=|AE|,所以,A与AT有相同的特征多项式.,(2)设1,2,n是A的全部特征值,则1-1,2-1,n-1是A-1的全部特征值,故A-1的特征多项式为,|A-1E|,六、关于特征值的其它问题,1.用特征根计算方阵的
19、行列式,例6:设A是3阶方阵,它的3个特征值为1=1,2=1,3=2,设B=A35A2,求|B|,|A5E|.,解:利用A的行列式与特征值的重要关系|A|=12 n,计算|A|.,令 f(x)=A35A2,因为1,2,3是A的全部特征值,又因为,1=1,2=1,3=2,所以,f(i)(i=1,2,3)是f(A)=A35A2=B的全部特征值.,故,|B|=|f(A)|=f(1)f(2)f(3)=(4)(6)(12)=288.,下面求|A5E|.,方法一:令 g(A)=A5E,因为,A的所有特征值为1=1,2=1,3=2,所以,g(A)的所有特征值为g(1),g(2),g(3),所以,|A5E|=
20、|g(A)|=g(1)g(1)g(2)=72.,方法二:因为A的所有特征值为1=1,2=1,3=2,故,|A|=123=1(1)2=2,又 B=A35A2=A2(A5E),所以|B|=|A|2|A5E|,但|B|=288,|A|2=4.,所以,|A5E|=|B|/|A|2=288/4=72.,方法三:因为A的所有特征值为1=1,2=1,3=2,所以,fA()=|AE|=(1)3(1)(+1)(2),故,|A5E|=fA(5)=(1)3(51)(5+1)(52)=72.,2.用方阵A的特征值来讨论(AkE)的可逆性,当k是A的特征值时,|AkE|=0,故(AkE)不可逆;当k不是A的特征值时,|
21、AkE|0,故(AkE)可逆.,例7:设A为n阶方阵,(1)若A2=E,8EA是否可逆?(2)设是A的特征值,且 1,AE是否可逆?,解:因为A2=E,所以A的所有特征值为1=1,2=1,因8不是A的特征值,从而8EA是可逆的.,一般地,当A2=E,且k1时,kEA均可逆.,(2)因为 1,所以1不是A的特征值,于是,|AE|=|A(1)E|0,所以,AE 均可逆.,七、判断方阵是否可对角化,例8:设A是n阶下三角阵,(1)在什么条件下A可对角化?(2)如果a11=a22=ann,且至少有一aij 0(i j),证明A不可对角化.,解(1):方阵A可对角化的一个充分条件是A有n个互异的特征值.
22、下面求出A的所有特征值.,因为,所以,fA()=|AE|=(a11)(a22)(ann),得A的所有特征值i=aii(i=1,2,n).,所以,当i j(i j,i,j=1,2,n)时,即当aii ajj 时A可对角化.,解(2):用反证法.,若A可对角化,则存在可逆矩阵P,使,P-1AP=diag(1,2,n),其中i(i=1,2,n)是A的特征值.,由条件和(1)的证明过程知:i=aii=a11(i=1,2,n).,故,A=Pa11EP-1=a11PP-1=a11E,从而,这与至少有一个aij 0(ij)矛盾,故A不可对角化.,利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,化二次型为标准形等计算问题不再举例.,填空题,1.设A是n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,|A|=2,则方阵B=AA*的特征值是,特征向量是.,2.三阶方阵A的特征值为1,1,2,则B=2A33A2的特征值为.,3.设,A的特征值为2和1(二重),那么B的特征值为.,相似,则 x=,y=.,4.已知矩阵,与,5(n重),任意n维非零向量,-1,-5,4,2和1(二重),0,1,
