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1、,2.2 向量组的秩和线性相关性,2.2 向量组的秩和线性相关性,一.基本概念,列向量组:1,2,s,矩阵A=(1,2,s),矩阵A的秩,向量组1,2,s的秩,r(1,2,s),第二章 n维列向量,行向量组:1,2,s,矩阵A的秩,向量组1,2,s的秩,r(1,2,s),2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,r(1,2,s)s,r(1,2,s)s,r(1,2,s)=s,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,(linearly dependent),(linearly independent),1,2,s线性相关,1T,2T,sT线性相关,几个显然的结论:,(1),注
2、意:不要混淆:,“矩阵A的列向量组线性相关”,“矩阵A的行向量组线性相关”与,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,(2)只含有一个向量的向量组线性相关,=0.,(4)含两个向量,的向量组线性相关,的分量成比例.,(5)当s n时,任意s个n维向量都线性相关.,(3)含有零向量的向量组一定线性相关.,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,例题2.2 求下列向量矩阵的的秩，并判断它们是不是线性相关的。（1）（2）（3）n维基本单位向量组,解：(1)记,则因为，所以行列式的秩小于3，明显,的，A的2阶行列式,故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。,容易求得r(A)=3,
3、因此向量组线性无关。,(3)因为1,2,.,n 对应的矩阵是单位矩,阵,从而其秩为n，故该向量组是线性无关的,(2)记,例题2.3 设 线性无关，且,证明：线性无关。,解：只对列向量的情形证明。记,据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆,的，因此，r(A)=r(B)，因此,线性无关。,二.向量组秩的性质,A:1,2,r B:1,2,s,若B组中的每个向量都能由A组中的向 量线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.,1.给定两个向量组,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,若向量组B能由向量组A线性表示，同时 向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.,2.2 向量组
4、的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,A:1,2,r B:1,2,s,4.给定两个向量组,显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);,(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);,(3)若A与B等价且B与C等价,则B与A等价(传递性).,定理2.1 如果向量组1,2,.,t可以由1,2,.,s线性表示,则,r1,2,.,t r1,2,.,s,推论2.1 如果向量组1,2,.,t可以由1,2,.,s线性表示,且t s,则向量组1,2,.,t一定线性相关。,推论2.2 如果向量组1,2,.,t与向量组1,2,.,s等价,则,r1,2,.,t=r1,2,.,s,推论2.3 如果向量组1,2,.,t与向量组1,2,.,s都线性无关且相互等价，则s=t,例2.4.设有两个向量组,I:1=1,1,2=1,1,3=2,1,II:1=1,0,2=1,2.,即I可以由II线性表示.,即II可以由I线性表示.,故向量组I与II等价.,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维列向量,例2.5 设向量组 可以由向量组,线性表示，并且,证明：线性无关的充分必要条件是,线性无关。,证明：由已知 可以由 线性表示,三个式子相加得,即。因此,，同时由条件可以解出；将,所以 可以由 线性表示。因此两,个向量组是相互等价的。即,线性无关的充分必要条件 线性无关,
