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1、1,单个向量组成的向量组:(1)若=0,则线性相关;(2)若 0,则线性无关.,两个向量组成的向量组,:(1)若对应分量成比例,则线性相关;(2)若对应分量不成比例,则线性无关.,复习线性相关性的判定理论,2,增加(减少)个数不改变相(无)关性.,(5),(6),增加(减少)维数不改变无(相)关性.,3,(7)向量组1,2,m线性相关性 x11+x22+xmm=0有非零解 齐次线性方程组AX=0有非零解 其中A=(1 2 m),X=(x1,x2,xm)T,(8)设有n个n维向量1,2,n:1,2,n线性相关|1 2 n|=0;1,2,n线性无关|1 2 n|0.,(9)Rn中n+1个向量一定线
2、性相关.,(10)矩阵判别法.,4,4.3 向量组的秩,极大线性无关组与秩;2.向量组的等价;3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.,本节 主要内容,5,4.3.1 向量组的极大无关组与秩,定义1,设S是n维向量构成的向量组,在S中选取r个向量,如果满足,(1)线性无关,(2)任取 S,总有 线性相关.,则称向量组 为向量组S的一个,极大线性无关组(简称极大无关组).,数 r 称为该向量组的秩,记为,r(1,2,s)=r 或秩(1,2,s)=r,6,设有向量组 1=(1,1,1)T,2=(2,1,0)T,3=(3,2,1)T,求向量组的秩和极大无关组.,因 1,2 线性无关,且,例1,所以1,2为极
3、大无关组,可知1,3和2,3也都是极大无关组.,故 秩(1,2,3)=2.,3=1+2,解,7,定理4.2 设n维向量1,2,m线性无关,而1,2,m,线性相关,则 可由 1,2,m 线性表示,且表法唯一.,证 由1,2,m,线性相关 存在不全为零的数k1,k2,km,l使得,下面证明只有l0,反证法.,线性表示唯一性定理,8,如果 l=0,则有k1,k2,km不全为零,使,于是1,2,m 线性相关,与已知矛盾.从而 l 0.故有,即 可由1,2,m线性表示.,下面来证明表示的唯一性.,9,假若 有两种表示法,设,两式相减,得,由1,2,m 线性无关,得,可由1,2,m 唯一线性表示.,故,1
4、0,设有两个 n 维向量组,若(I)中每个向量都可由(II)线性表示,则称 向量组(I)可由向量组(II)线性表示.若向量组(I)和(II)可以互相线性表示,则称向量组(I)与(II)等价.,定义2,向量组的等价,等价的性质,自反性、对称性、传递性,n维向量组,存在数,使得,即,定义,存在rs矩阵K,使得 Bns=Anr,向量组(II)可由向量组(I)线性表示,12,极大无关组与原向量组的关系?极大无关组之间的关系?这都要用到两个向量组之间的关系.,向量组极大无关组的几个问题:,向量组与它的极大无关组等价.,证,设(I),极大无关组.,不妨设(II),性质1,的秩为r,是(I)的一个,13,即
5、(II)可由(I)线性表示.,故(I)与(II)等价.,j 显然可由1,2,r 线性表示;如果,j=r+1,m,向量组1,2,r,j 一定,线性相关,所以 j(j=r+1,m)可以由,1,2,r 线性表示,(I)可由(II)线性表示.,14,证 设(I),(II)是向量组S 的两个极大 无关组,由性质1知,(I)与S等价,(II)与S等价,由传递性(I)与(II)等价.,向量组的任意两个极大无关组等价.,性质2,设有n 维向量组:,若(I)线性无关,且(I)可由(II),线性表示,则 r s.,定理4.3,15,证,因为向量组(I)可由(II)线性表示,故有,线性无关,由矩阵判别法知,故 r
6、s.,(I),(II),16,推论2,若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II),等价,则 r=s.,向量组的两个极大无关组所含向量个数相等,推论3,若(I)可由(II)线性表示,则,秩(I)秩(II).,如果向量组(I)可由(II)线性表示,且r s,则(I)线性相关.,推论1,17,证 设r(I)=r,r(II)=s,(I),(II)分别是(I),(II)的极大无关组,显然(I),(II)含向量的 个数分别是r 与 s.因为(I)可由(I)线性表示,(I)可由(II)线性表示,而(II)可由(II)线性表示,所以(I)可由(II)线性表示.由定理4.3有r s.,等价的向量组等秩,1
7、8,设,若向量组1,2,3线性无关,证明向量组1,2,3也线性无关.,证1 由已知可以解得用1,2,3 来表示 1,2,3的表达式:,故两向量组等价,等秩,r(1 2 3)=3r(1 2 3)=3 1,2,3 线性无关.,例2,19,证2,故两向量组等价,等秩,则 1,2,3 线性无关.,20,4.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理4.4,r(Anm)=A的列向量组 的秩.,分析,记r(A)=r,往证 的秩为r,即,只要证 的极大无关组含r个向量.,证,记 Dr 对应的r 列为,是r 维线性无关向量的接长,仍线性无关.,是线性相关的,下证,21,j 不在 i1,i2,ir 中,j 在 i
8、1,i2,ir 中;,线性相关.,r+1列对应的子矩阵记为A1,因为,是一个极大无关组.,故,由,又有 A 的行秩.,22,设AB=0.若A的列向量组线性无关,则B=0.若B的行向量组线性无关,则A=0.若B0,则A的列向量组线性相关.若A0,则B的行向量组线性相关.分析 设B=(B1,B2,Bm),AB=0ABi=0.A的列向量组线性无关AX=0只有零解Bi=0,i=1,mB=0.其余情况可以类似得到.,例3,23,秩等;,极大无关组的位置对应相同;,表示系数对应相同,当 时,n维列向量组S:,则向量组 与,初等变换法,极大无关组和秩的求法,24,求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩,并把其
9、余列向量用所求出的极大无关组线性表示.,解 通过初等行变换把A化为行最简形,例4,25,为一个极大无关组,26,解法1,是该向量组的一个极大无关组.,例5,27,解法2,(2)是该向量组的一个极大无关组,(和 也是).,(3),(1)秩=3;,28,总结:向量组的有关结论,一、理解A=BC,二、S的极大无关组,(1)定义,(2)S,则 可被极大无关组线表,且表法唯一,(3)S与极大无关组;,极大无关组极大无关组,(4)S的各极大无关组含向量个数相等,-秩,三、重要结论,Th4.2,Th4.3,组(I)可被(II)线表示,r s,组(I)与(II)等价,r=s,推2,推3,组(I)可被(II)线
10、表,秩(I)秩(II),组(I)与(II)等价,秩(I)=秩(II),四、秩、极大无关组、表示系数的求法,Th4.4,29,例题选讲,30,判断下列命题是否正确？(1)若向量组线性相关,则其中每一向量都 是其余向量的线性组合.解 不正确.如e1,e2,2e2线性相关,e1不能用 e2,2e2线性表示.(ei是第i个单位向量)(2)若一个向量组线性无关,则其中每一向 量都不是其余向量的线性组合.解 正确.用反证法:若存在一向量是其余 向量的线性组合,则线性相关.,例1,31,(3)若1,2线性相关,1,2线性相关,则 1+1,2+2也线性相关.解 不正确.如(1,0),(2,0)线性相关,(0,
11、1),(0,3)线性相关,但(1,1),(2,3)线性无关;(4)若1,2,3线性相关,则1+2,2+3,3+1也线性相关.解 正确.不妨设1可由2,3线性表示,则 1+2,2+3,3+1可由2,3线性表示.,32,(5)1,2,m线性无关 1,2,m 中任何两个都线性无关.,所以 线性相关.,中任何两个都线性无关,但,反例,解 不正确.只是必要条件,非充分.,33,设向量组,线性无关,线性相关,以下命题正确的是().(A)可以由,线性表示;(B)不可由,线性表示.(C)可以由,线性表示;(D)不可由,线性表示.,例2,34,例3,R(I)=R(II)=r,不妨设1,2,r是(I)的极大无关组,由(I)与(II)等秩知,1,2,r 也是(II)的极大无关组,所以 能由 1,2,r线性表示,即 也能由(I)线性表示.所以(I)与(II)等价.,显然(I)能由(II)线性表示,只须证 能由(I)线性表示即可.,35,例4,设向量组1,2,m 与1,2,s 的秩相等,且1,2,m可由1,2,s线性表示,证明两向量组等价.,证:,因为(I)能由(II)线性表示,所以(I)能由(II)线性表示,(I):1,2,r为(I)的极大无关组;,(II):1,2,r为(II)的极大无关组.,36,即,所以,即(II)能由(I)线性表示,
