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1、第一章 整数的可除性,一 初等数论及其主要内容,数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。,自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的几何原本（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献
2、，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代孙子算经中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探究，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。,二 数论的发展,由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。,我国近
3、代：在解析数论、丢番图方程，一致分布等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆砌素数论方面的研究享有盛名。特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究，已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和),三、几个著名数论难题,初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。,其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。,1742年,由德国中学教师
4、哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”所谓的1+2，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。,1、哥德巴赫猜想：,2、费尔马大定理：,费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看
5、起来很简单的定理。,经过8年的努力，英国数学家 安德鲁怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。,方程 无非0整数解,3、孪生素数问题,存在无穷多个素数 p,使得 p+2 也是素数。,究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学家 Alphonse de Polignac 提出猜想：对 于任何偶数 2k,存在无穷多组以2k为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数；k=2(即间隔为4)的素数对被称为 cousin p
6、rime；而 k=3(即间隔为 6)的素数对竟然被称为 sexy prime(不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。),4、最完美的数完全数问题,下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14.接着是496和8128.他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:,注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。,完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.,若 是素数，则 是完全数,在培养中学生思维
7、能力方面大有作用。,四、初等数论在中小学教育中的作用,国际数学奥林匹克从1959年起到2002年已经举行了43届比赛，大致统计，在总共260道题目中，可以主要用初等数论知识来解及初等数论知识有关的约有82题，约占31.5%。,第一节 整除的概念 带余数除法,2、整除的基本定理,思考：逆命题是否成立？1、m|(ab)m|a,m|b2、m|(ab)，m|am|b,定理2,3、带余数除法,例1 求当b=15时,a取下列数值时的不完全商和余数.1、a=81;2、a=-81;,例2(1)一个数除以2,余数可能为,所有的整数按被2除所得的余数分类可分为.(2)一个数除以3,余数可能为,所有的整数按被3除所
8、得的余数分类可分为.(3)一个数除以正整数b,余数可能为,所有的整数按被b除所得的余数分类可分为.,带余数除法的应用举例,例1 证明形如3n-1的数不是平方数。,例2、任意给出的5个整数中，必有3个数之和被3整除。,例4,例6,第二节 最大公因数与辗转相除法,2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论,3、下面先讨论两个非负整数的最大公因数,定理2、设b是任一正整数，则（i)0与b的公因数就是,b的因数，反之，b的因数也就是0与b的公因数。,(ii)(0,b)=b,思考：1、d|a,d|c时能否推出d|b?,5、下面要介绍一个计算最大公约数的算法辗转相除法，又称Euclid算法。它是数论中的
9、一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用。,定义 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。,6、最大公因数的两个性质,对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设,所以，命题得证。,第三节 整除的进一步性质及最小公倍数,例 用辗转相除法求(125,17)，以及x，y，使得 125x 17y=(125,17)。,解 做辗转相除法：,则,对于两个以上整数的最小公倍数问题，不妨设,注：多项式的带余除法类似于整数的带余除法,第四节 质（素）数 算术基本定理,一、质（素）数,1、定义 一个大于1的整数，如果它的正因数只有1,及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫合数。,2、与素数相关的性质定理,证：必要
10、性显然。,对于一个给定的整数，我们根据上述定理不仅可以,判别它是否是素数，且还可以找出所有不大于它的素数,把1划去，剩下第一个数是2,2是素数。从2起划去它,后面所有2的倍数，剩下的第一个数是3，它不是2的倍,所以它是素数。,依次，当我们把所有的不大于,的素数。,这种方法是希腊时代幼拉脱斯展纳发明的，,好像用筛子筛出素数一样，称幼拉脱斯展纳筛法。,数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的发展,若用计算机编成程序,对于10位数,几乎瞬间即可完成,对于一个20位数,则需要2个小时,对于一个50位数就需,要一百亿年,令人吃惊的是,要检验一个一百位数,需要,的时间就猛增到1036年.到了1980年,这
11、种困难的情况,得到了改观,阿德曼(Adleman),鲁梅利(Rumely),科恩,(Cohen),和伦斯特拉(Lenstra)研究出一种非常复杂的,过去,要检验一个数是否是素数，最简单方法是试除法，,检验一个20位数只消10秒钟,对于一个50位数用15秒钟,100位数用40秒钟,如果要他检验一个1000位数,只要用,一个星期也就够了.但是大部分的素性检验法都不能分,解出因数来,只能回答一个数是否是素数.,技巧,现在以他们的名字的首字母命名的ARCL检验法,定理3、素数的个数是无穷的。,注：2000多年前，古希腊数学家欧几里得（前330-,前275），著有几何原本，他在此书中率先证明了,素数的无
12、限性，这个证明一直被当作数学证明的典范，,受到历代数学家的推崇，因为这一定理及其证明既简洁、,优美而不失深刻。其证明思路如下：,证明:假设正整数中只有有限个质数，设为,下面介绍与素数有关的某些问题,1、费马数：,费马在1640年设计了一个公式，给出一些素数。,然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个,公式的，它们是3,5,17,257和65537,分别对应于n=0,1,2,3,4,2、费马数与尺规作图的联系：,尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图,瑞士科学家欧拉于1732年举出,故费马的猜测不正确。,规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并,非完全相同：1、直尺必须
13、没有刻度，无限长，且只能,使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，,不可以在上画刻度；2、圆规可以开至无限宽，但上面,亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。,只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺,是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且,一般地，任意正n边形有以下结论：,3、梅森数,梅森数(Mersenne number)是指形如2p1的正整数，,其中指数p是素数，常记为Mp。若Mp是素数，则称,为梅森素数。,早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得,就开创了研究2P1的先河，他在名著几何原本,第九章中论述完美数时指出：如果2P1是素数，,则(2p1)2
14、(p1)是完美数。,梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上，对,2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的,物理数学随感一书中断言：对于p=2，3，5，7，,13，17，19，31，67，127，257时，2P1是素数,而对于其他所有小于257的数时，2P1是合数。,前面的7个数属于被证实的部分，是他整理前人的工作,得到的；而后面的4个数属于被猜测的部分。,值得提出的是：虽然梅森的断言中包含着若干错误，,但他的工作极大地激发了人们研究2P1型素数的热情，,在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国,数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-,雷默方法”是目前已知的检
15、测梅森素数素性的最佳方法。,此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分,布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这,一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。,2005年，美国数学家C.Cooper和S.Boone领导的科,研小组发现了第43个梅森素数，该素数有9 152 052位数，,是目前知道的最大的素数，,该素数是：,关于梅森数有下列的一个命题：,二、算术基本定理,1、定理4 任一大于1的整数能表成素数的乘积，,即任一大于1的整数,此为算术基本定理。,2、正整数的标准分解式,推论4.1 任一大于1的整数a能够唯一地写成,推论4.2 设a是任一大于1的整数，且,推论4.3 设a,b
16、是任意两个正整数，且,注：利用推论容易证明：,定理5 设a是任一大于1的正整数,第五节 函数x,x及其在数论中的一个应用,一、取整函数及性质,1、取整函数x的定义:,函数x与x是对于一切实数都有定义的函数，函数,x的值等于不大于x的最大整数；,函数x的值是x-x.,把x叫做x的整数部分，x叫做x的小数部分。,问题：这两个函数的图像如何？,2、取整函数的简单性质,例题,则原命题等价于证,注：此为厄米特恒等式。,二、取整函数的一个应用,例3、求50！中3的最高幂,3（50！）=16+5+1,例4、求1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数,解：1000！的十进制表示式中因子5的个数等于因子,10的个数，所以1000！的十进制表示式中末尾连续零,的个数等于因子5的个数，即,
