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1、第九章 压杆稳定,9-1、压杆稳定的概念,9-2、两端铰支细长压杆的临界压力,9-3、其他支座条件下细长压杆的临界压力,9-4、欧拉公式的适用范围,9-5、压杆稳定性校核,9-6、提高压杆稳定性的措施,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度，还与其稳定性有关。,9-1、压杆稳定的概念,一、稳定平衡与不稳定平衡,圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消后：,（1）凹面上，刚球回到原位置稳定平衡（2）凸面上，刚球不回到原位置，而是偏离到远处去不稳定平衡（3）平面上，刚球在新位置上平衡随遇平衡,理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿
2、轴线）作用压力F，给一横向干扰力，出现类似现象：,（1）干扰力撤消后，直杆能回到原有的直线状态（图 a）,类似凹面作用稳定平衡；（2）干扰力撤消后，直杆不能回到原有直线状态（图 c），类似凸面作用不稳定平衡；（3）干扰力撤消后，直杆不再恢复到原来直线平衡状态，而是仍处于微弯的平衡状态（图b）临界平衡状态，此时的压力Fcr称为压杆的临界压力。,1、临界压力Fcr（临界力）：,2、失稳（屈曲）：,3、失稳后果：,注意：通常所说的压杆稳定及其在临界力作用下的失稳，是就中心受压直杆的力学模型而言的。,F,FFcr,F=Fcr,11-2,9-2 两端铰支细长压杆临界压力,简化:,1 剪切变形的影响可以忽
3、略不计,2 不考虑杆的轴向变形,挠曲线近似微分方程：,通解为：,边界条件：,临界压力公式的推导：,压杆处于微弯平衡状态,讨论：,欧拉公式,则挠曲线方程为,挠曲线为半波正弦曲线,适用条件：,理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）,线弹性，小变形,两端为铰支座,解：,截面惯性矩,临界力,图示三角架结构，BC杆为细长压杆，已知：AC=1.5m,BC=2m,d=2cm,E=200GPa,求不会使刚架失效的载荷P。,解：,如图，由结点B的平衡,欧拉公式普遍形式,长度系数（长度因数）,相当长度,第三节 其他杆端约束细长压杆的临界力,L,L,L,L,目录,目录,可知：杆端约束越强，抗弯能力越大，临
4、界力也越高,目录,关于欧拉临界力公式,I 如何确定？,目录,已知：L=0.5m,。求下列细长压杆的临界力。,图（a）,图（b）,解：图（a）,图（b）,解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为,边界条件为,导出下述两种细长压杆的临界力公式,目录,为了求最小临界力，“k”应取的最小正值，即,故临界力为,=0.5,或,一端固定，另一端自由的细长压杆如图所示。试导出其临界力的欧拉公式。,一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可沿水平方向移动，设EI为常数，求临界力。,将x=0,y=0,代入上述二式得,X=L,一、临界应力,柔度(细长比)：,临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。用scr表示，
5、即：,式中：横截面对微弯中性轴的惯性半径；,9-4 欧拉公式的适用范围,细长压杆的临界应力：,柔度p的压杆，称为大柔度杆（细长杆）。,对于A3钢，E=200 GPa，sp=200 MPa，则,在欧拉公式是根据压杆失稳时的挠曲线近似微分方程建立的，该方程的适用范围：杆横截面上的应力不超过比例极限p。所以，欧拉公式的适用范围是：,二、欧拉公式的适用范围,三、中小柔度杆的临界应力计算经验公式,1、直线型经验公式,、ps 时：,、s时：,，杆为非细长杆，其临界应力可通过解析法求得，但常采用经验公式计算。,2、抛物线型经验公式,我国建筑业常用：,、ps时：,、s 时：,根据柔度的大小可将压杆分为三类:,
6、1.大柔度杆或细长杆,压杆将发生弹性屈曲。此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限。欧拉公式计算临界应力,2.中长杆,压杆亦发生屈曲。此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限.截面上某些部分已进入塑性状态.为非弹性屈曲.采用经验公式计算临界应力,3.粗短杆,压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服.采用经验公式计算临界应力,三类不同的压杆的破坏,细长杆 发生弹性屈曲中长杆 发生弹塑性屈曲 粗短杆 不发生屈曲，而发生屈服,欧拉公式：,大中小柔度杆临界应力计算：,小柔度杆,中柔度杆,大柔度杆,经验直线公式：,sp,采用直线经验公式的 临界应力总图,采用抛物线经验公式
7、的临界应力总图,四、临界应力总图,已知：L=0.5m,。求下列细长压杆的临界力。,图（a）,图（b）,解：图（a）,图（b）,、压杆的临界力,求下列细长压杆的临界力。,=1.0，,解：、绕 y 轴（xz平面失稳），两端铰支：,=0.7，,、绕 z 轴（xy平面失稳），左端固定，右端铰支：,例 题,9-5 实际压杆的稳定因数,压杆所能承受的极限应力总是随压杆的柔度而改变，柔度越大，极限应力值越小。所以设计压杆时所用的许用应力也随其柔度的增大而减小。,压杆稳定因（系）数,为了反映这一特点，压杆的稳定许用应力为：,11-4,9-6(1)压杆的稳定校核,工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算,可
8、解决三类问题：确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计。,稳定安全因数,n工作安全因数,11-4,一、安全因数法,稳定条件可写为：,11-4,若遇到压杆局部截面被削弱的强抗，如杆上开孔、切槽等，在稳定计算中，仍使用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故此时必须对削弱截面进行强度校核，即,L=1.5m(铰支),d=55mm,A3(p=102，s=56）E=210GPa,P=80KN,nst=5,试校核此连杆稳定性。,解：,1、求,属大柔度杆。,2、求解Pcr（cr）,3、校核,例 题,连杆稳定性安全,式中：sst稳定许用应力；s许用应力；j1折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。
9、,二、折减因数法,稳定条件可写成：,图示结构，两根直径为d的圆杆，上下两端分别与刚性板固结，在总压力p作用下，求最小的临界载荷。,L,d,d,F,y,z,解：细长圆杆可能的失稳形式有：,（1）两端固定（中心失稳）：,P318 习题9-6,例 题,比较可知，（3）中为最小的临界载荷,图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？,解：对于单根10号槽钢，形心在C1点。,图示两根槽钢组合之后：,例 题,(2)求临界力：,大柔度杆，由欧拉公式求临界力。,图示起重机，AB 杆为圆松木，长 L=6m，=11MPa，直径为：d=0.3m，
10、试求此杆的容许压力。,解：折减系数法,、最大柔度,xy面内，=1.0,zy面内，=2.0,例 题,最大柔度zy面内,、求折减系数,、求容许压力,例 图示钢杆，材料，比例极限,屈服极限 直线公式,求其工作安全系数。,A,B,C,P=30kN,900mm,800mm,解：,例 题,A,B,C,P,(1)AB段两端固定,（2）BC段一端固定，一端铰支,图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1.分析那一根杆的临界荷载较大？2.计算d160mm，E206GPa时，二杆的临界荷载。,例 题,1.计算柔度判断两杆的临界荷载,两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的
11、临界荷载。,2.计算d160mm，E206GPa时，二杆的临界荷载。,2.计算各杆的临界荷载,确定图示连杆的许用压力Fst。已知连杆横截面面积A=720 mm2，惯性矩Iz=6.5104 mm4，Iy=3.8104 mm4，sp=240 MPa，E=2.1105 MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。,若在x-y面内失稳，m=1，柔度为：,解：(1)失稳形式判断,若在x-z平面内失稳,m=0.5,柔度为：,所以连杆将在xy平面内失稳，其许用压力应由lz决定。,例 题,(2)确定许用压力,硅钢：ss=353 MPa，计算有关的lp和ls为：,连杆为中柔度杆。a=578 MPa，b=
12、3.744 MPa，其临界载荷为,由此得连杆的许用压力为：,(3)讨论：在此连杆中：lz=73.7，ly=39.9，两者相差较大。最理想的设计是ly=lz，以达到材尽其用的目的。,目录,例 9-4-5 图示平面结构，三杆材料相同，且都是直径相同的细长圆杆，。若此结构由于失稳而丧失承载能力，试确定荷载的临界值。,解：(1)解超静定问题,平衡,几何,物理,解得：,例 题,目录,1,2,3,至全部失稳时,目录,(2)求细长杆的临界力,(3)确定P的临界值,则2、3杆先失稳，内力保持其临界值,目录,欧拉公式,越大越稳定,减小压杆长度 l,减小长度系数（增强约束）,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
13、,增大弹性模量 E（合理选择材料）,11-6,9-6(2)提高压杆稳定性的措施,目录,减小压杆长度 l,减小长度系数（增强约束）,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,增大弹性模量 E（合理选择材料）,大柔度杆,中柔度杆,表 11.2,练习题,图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（）。,A.临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于xy面内；B.临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于xz面内；C.临界压力Fcr2EIz/L2，挠曲线位于xy面内；D.临界压力Fcr2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。,B,图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（）相同。,A.长度因数；B.相当
14、长度；C.柔度；D.临界压力。,B,在下列有关压杆临界应力cr的结论中，（）是正确的。,A.细长杆的cr值与杆的材料无关；,B.中长杆的cr值与杆的柔度无关；,C.中长杆的cr值与杆的材料无关；,D.短粗杆的cr值与杆的柔度无关。,D,图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件下，压杆采用图（）所示截面形状，其稳定性最好。,(A),(B),(C),(D),D,将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高（）压杆的承压能力。,A.细长；B.中长；C.短粗 D.非短粗。,由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其（）。,A.稳定性提高，强度不变；B.稳定性不变，强度提高；C.稳定性和强度都提高；D.稳定性和强度都不变。,A,B,小结,1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界 载荷的概念,2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则,3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的 类别选用合适的公式计算临界应力,4、掌握简单压杆的稳定计算方法,5、了解提高压杆稳定性的主要措施,目录,工 程 实 例,目录,工程实例,目录,工程背景,目录,工程背景,目录,工程背景,目录,工程背景,目录,工程背景,目录,工程背景,目录,第九章 结束,
