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1、插值方法的应用代数插值问题线性插值与二次插值公式拉格朗日插值公式,数值分析 13,引例1.正弦函数 sin x 的计算问题,2/18,(1)线性函数逼近 y0=x(2)泰勒级数逼近 y1(x)=x x3/3!+x5/5!(3)抛物线逼近 y2=4x(x)/2,(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;,插值方法的应用:,3/18,引例2.误差函数,x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000,y 0 0.5205 0
2、.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000,当 x(0.5,1)时,当 x(1,1.5)时,4/18,已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi),(i=0,1,2,n),则称 P(x)为 f(x)的 n 次代数插值多项式.称 x0,x1,xn为 插值结点;称 f(x)为被插值函数.,如果 P(x)=a0+a1x+anxn满足:P(xk)=yk(k=0,1,n),设 f(x)C a,b,取点 a x0 x1xnb,代数插值问题,插值函数,插值条件,5/18,点,则满足插值条件 P(xk)=yk(k=0,1,n)的n次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn存在而
3、且是唯一的。,定理5.1 若插值结点x0,x1,xn 是(n+1)个互异,6/18,方程组系数矩阵取行列式,故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.,7/18,构造3次多项式P(x)逼近 Erf(x),设P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令 P(xk)=Erf(xk),得,求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,P(x)=1.293 x 0.5099 x2+0.0538 x3,8/18,x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1)x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);
4、a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u),MATLAB数值实验,9/18,过两点直线方程,求满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1的线性函数 L(x),已知函数表,例 求 的近似值,六位有效数10.7238,10/18,记,当x0 x x1时0l0(x)1,0l1(x)1,y0 y1=1 0y0+0 1y1,线性插值函数的对称形式,11/18,二次插值问题,已知函数表,求函数 L(x)=a0+a1x+a2 x2 满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2,y0 y1 y2=1 0 0y0+
5、0 1 0y1+0 0 1y2,L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，,12/18,二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，,13/18,二次插值基函数图形,取 x0=0,x1=0.5,x2=1,l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)=4 x(x 1);l2(x)=2(x 0.5)x,14/18,二次插值的一个应用极值点近似计算,二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，,极值点近似计算公式,15/18,拉格朗日插值公式,插值条件:L(xk)=yk(k=0,1,n),其中,第k(k=0,1,，n)个插
6、值基函数,或:,16/18,Runge反例:,(-5x5),取xk=5+k 计算:f(xk)(k=0,1,10)构造L10(x).取:tk=5+0.05k(k=0,1,200),计算:L10(tk),17/18,x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.2);n=length(t);for i=1:n z=t(i);s=0;for k=1:11 Lk=1;u=x(k);for j=1:11 if j=k,Lk=Lk*(z-x(j)/(u-x(j);end end s=s+Lk*y(k);end y2(i)=s;endplot(x,y,ko,t,y1,t,y2,r),18/18,
