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1、,12.5 关于线性预测的进一步讨论,上一节使用的AR模型等效于一个 p 阶的线性预测器。即Yule-Walker方程等效于Wiener-Hopf 方程。但估计的功率谱的分辨率不理想，其原因是仅用了前向预测，即,对同样一组数据，我们可以实现双向预测：,令：,可以得到使 最小的 及。当然也可使用正交原理得：,可以证明：,前、后向预测对等关系,上述结果表明，使用已知的 p 个数据，我们可以实现前向预测，也可以实现后向预测，两种情况下可各自得到对等的Wiener-Hopf方程。将它们单独使用，所得分辨率都不理想。可以设想，如将二者结合起来，即同时使前向、后向预测误差功率为最小，应能得到更好的分辨率。
2、人们在线性预测方面进行了大量的研究。,前、后向预测误差序列有如下的关系：,上述关系引出了线性预测中的Lattice结构。这一结构在现代谱估计、语音信号处理中有着重要的应用。,上述的关系还是集总平均。对实际的信号：单个样本有限长，求均值要简化，对,取代,N点数据，前向预测误差序列范围,上三角+中间块+下三角：上、下加窗；,中间块：上、下不加窗；,中间块+上三角：下不加窗、上加窗；,中间块+下三角：上不加窗、下加窗；,12.6 AR模型系数求解算法,AR模型系数求解算法很多，人们目前仍在探讨新的求解算法。目前，常用的算法是：1.自相关法 2.Burg算法 3.协方差(covariance)方法；4
3、.改进的协方差算法（modified),又称：Marple 算法 5.最大似然（Maximum Likelihood)估计,3.递推算法：由 求，由 递推，还是直接由 递推,各算法之间的主要区别：,2.仅用前向预测，还是前后向都预测？即 令 最小，还是 最小？,？,一、自相关法,令：,使用,使用前向预测,注意：矩阵 的结果，即是对有限长数据求出的自相关函数，因此，上式等效于：,自相关法的特点：,1.只用前向预测，且 等效前、后加窗,分辨率不好;,2.用，得到的 是Toeplits阵，才可能用Levinson算法求解；,3.实际上是我们前面讨论过的Yule-Walker 方 程。方法最简单。,二
4、、Burg算法,使用前、后向预测,令：,得到 的求解公式：,递推步骤,1.令：求出2.求 时的参数3.求出，再求4.用Levinson算法，求 时的5.重复上述过程，直到,Burg算法：一个公认的较好的算法。,Burg 算法的特点：,2.的选择保证前、后不加窗，即,3.在每一级，仅对 最小，然后套用自相关法的Levinson递推算法，影响分辨率；,4.直接用数据递推，方法简单。,三、改进的协方差法Marple方法,同Burg算法,注意：这是Marple 算法和Burg算法的最大区别。Burg算法仅：,上述最小化的结果是得到一个协方差方程：,注意：该矩阵不是Toeplitz矩阵，因此不能用Lev
5、inson算法求解。Marple于1983年给出的求解上式的快速递归算法。所以，该算法称作“改进的协方差法，或Marple算法。该算法的估计性能最好，但计算复杂。,（e）Burg算法 Burg算法,（g）Marple算法 Marple算法,12.7 MA模型,再推导一步，有：,从谱估计的角度，MA模型等效于经典法中的间接法，所以分辨率低。因此，MA模型用于谱估计无优势。但，MA模型：1.常用于系统辨识；2.ARMA模型中包含了MA部分。,令其等效为 模型,求解算法：由于MA模型的正则方程是非线性方程，所以人们提出了很多的求解算法，如谱分解、基于迭代的方法、基于高阶AR模型近似的方法。后者最好用
6、，基础是Wold分解定理。,步骤：1.由,建立 得;2.对 建立 阶线性预测器，系数为,即建立两次AR模型。,12.8 ARMA(p,q)模型,ARMA模型的正则方程,对第二个式子，,可以先 求，然后再解第一个方程，求出；但这样做的效果不好，一是 的性能不好，二是第一个方程也不好求解。首先，建立一个超定方程（方程个数未知数）：,用求伪逆的方法可求出；注意，伪逆可用奇异值分解（SVD）的方法求解；求出 后，剩下的工作是求,2.用 对 滤波；3.滤波输出 相当于一 MA（q)过程，按 上节MA模型的求解方法，可求 出ARMA(p,q)模型 的 参数。,ARMA 模型系数求解的方法：,1.先求出：，
7、它们可构成；,（a）MA(10)（b）MA(16)（c）ARMA(10,10)（d）ARMA(10,13),12.10 基于矩阵特征分解的功率谱估计,假定信号由 M 个复正弦加白噪声组成：,已知：,目标：1.由该矩阵估计 个正弦信号的频率和幅度；2.估计信号 的功率谱；,定义：,为信号向量，它包含了 个复正弦，其频率和原信号的频率相同。,求解的关键是自相关矩阵的分解：,因为：,所以：,特征分解,构成的M维信号空间,构成的噪声空间,基于噪声子空间的频率估计和功率谱估计：,噪声空间只有一个特征向量,即：,方法：,由 估计，由 构成，并假定；,2.对 作特征分解，找最小的，及,3.代入上式，解出：实
8、现了频率估计。,4.由下式，求,按上述步骤，可求出正弦信号的参数 Pisarenko 谐波分解,若噪声空间向量不止一个，估计信号的频率，可应用谱估计的方法。,2.若,EV(Eigenvector)方法,用特征分解求出的功率谱曲线,与本章内容有关的MATLAB文件：,1.pyulear.m 用AR模型的自相关法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px,F=pyulear(x,order,Nfft,Fs)2.pburg.m 用AR模型的Burg算法估计信 号的功率谱，其基本调用格式是：Px,F=pburg(x,order,Nfft,Fs),（一）有关功率谱估计的MATLAB文件,3.pcov.m
9、 用AR模型方差方法估计信号的 功率谱，其基本调用格式是：Px,F=pcov(x,order,Nfft,Fs)4.pmcov.m 用AR模型的改进的方差方法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px,F=pmcov(x,order,Nfft,Fs),5.pmem.m 最大熵功率谱估计，其估计 性能类似pyulear,其基本调用格式是：Px,F=pmem(x,order,Nfft,Fs)6.pmusic.m 用自相关矩阵分解的MUSIC 算法估计信号的功率谱，其基本调用格 式是：Px,F=pmusic(x,order,Nfft,Fs),7.peig.m 用自相关矩阵分解的特征向量 法估计信号的功
10、率谱，其基本调用格式是：Px,F=peig(x,order,Nfft,Fs),Px,F，V,E=peig(x,order,Nfft,Fs),x:信号向量，order:模型的阶次，Fs:抽样频率，Nfft:对x作FFT时的长度。Px:估计出的功率谱，F是频率轴坐标。对peig,输出的E 是由自相关矩阵的特征值所组成的向量，V是由特征向量组成的矩阵。V的列向量张成了噪声子空间，V的行数减去列数即是信号子空间的维数。,（二）有关AR模型参数估计的文件：包括：aryule,arburg,arcov 及 armcov。8.aryule.m 用自相关法(即Yule-Walker法)估 计AR模型的参数，其
11、基本调用格式是：a,E=aryule(x,order),a,E，k=aryule(x,order),9.arburg.m 用Burg算法估计AR模型的参数，其基本调用格式是：a,E=arburg(x,order)a,E，k=arburg(x,order)10.arcov.m 用方差方法估计AR模型的参数，其基本调用格式是：a,E=arcov(x,order),11.armcov.m 用改进的方差方法估计AR模型 的参数，其基本调用格式是：a,E=armcov(x,order)x：信号向量；order：模型的阶次；a：AR模型系数向量；E：AR模型输入白噪声的功率，或order阶线 性预测器的最
12、小预测误差。k：反射系数向量。,（三）有关线性预测的MATLAB文件.lpc：用来计算线性预测系数。a=lpc(x,order);其作用等同于 aryule；.ac2poly：由自相关函数求线性预测系数 a,E=ac2poly(R);14.Poly2ac：由线性预测系数求自相关函数。Rpoly2ac(a,E);,.ac2rc 由自相关函数得到反射系数及。k,R0=ac2rc(R);16.rc2ac 由反射系数及得到自相关函数。Rrc2ac(k,R0);17.poly2rc 由线性预测系数得到反射系数 k=poly2rc(a),或 k,R0=poly2rc(a,E);,17.rc2poly 由反射系数及得到线性预测系数。a=rc2poly(k)，或 a,E=rc2poly(k,R0);18.Levinson：用Levinson-Durbin 算法求解 Toeplitz 矩阵，该文件是一个C-MEX 内部 文件。以上多个文件都要调用它。a,E,k=levinson(R,order)。,
