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1、1,第3章 离散傅里叶变换(DFT),2,本章作为全书的基础，主要学习:(1)DFT的定义；(2)DFT的物理意义；(3)DFT的基本性质以及频域采样；(4)DFT的应用举例等内容。,3,离散傅里叶变换定义,计算机只能处理有限长离散序列，因而无法直接利用ZT与FT进行数值计算。针对有限长序列,还有一种更有用的数学变换,即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性。,4,DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，即频域离散化。DFT有多种快速算法(Fast Fourier Tra
2、nsform),因此不仅在理论上有重要意义,在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用。从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。,5,DFT 的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：,X(k)的离散傅里叶逆变换为：,6,对式中，N称为DFT变换区间长度，NM。通常称上述二式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFTx(n)N和IDFTX(k)N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。,7,【例】x(n)=R4(n),求x(n)的8点和16点DFT。【解】（1）设变换区间N=8 时，则：,8,（2）设变换区间N=16 时，则：,9,R4(n
3、)的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示:,X(n)的幅频特性曲线(FT曲线),X(n)的8点DFT曲线,X(n)的16点DFT曲线,10,结论:,由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。在后面，对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。,11,DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(NM)点DFT分别为：,12,上二式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。X(k)为x(n)的傅里叶变换。,比较上面二式可得关系式,或,13,DFT是 X(ej)在区间0,
4、2上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ej)在区间0,2上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。,DFT的物理意义,14,DFT的隐含周期性 在DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使DFT和IDFT式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有 在DFT式中，X（k)满足：,15,实际上，任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即,16,一般称周期序列中从n=0到N1的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。因此x
5、(n)与的上述关系可叙述为：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列。,17,为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时，将式用如右形式表示：式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，(n)N表示模N对n求余，即如果 n=MN+n1 0n1N1,M为整数则(n)N=n1,18,例如，,则有所得结果符合下图所示的周期延拓规律。,19,如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数表示式,式中,即X(k)为的主值序列。,20,因此可知，有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数的主值序列，即。后面要讨论的频
6、域采样理论将会加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数确定，因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x(n)N的频谱特性，这就是N点DFT的物理意义。,21,离散傅里叶变换的基本性质,1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2,且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N=maxN1,N2，则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),0kN-1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,22,2 循环移位性质：(1)序列的循环移位 设x(n)
7、为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N)循环移位过程如下图所示:,23,循环移位过程示意图,24,(2)时域循环移位定理：设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即 y(n)=x(n+m)NRN(n)则 Y(k)=DFTy(n)其中 X(k)=DFTx(n),0kN-1。,25,（3）频域循环移位定理，如果 X(k)=DFTx(n),0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则 y(n)=IDFTY(k),26,3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=maxN1,N2。x1(n)和x
8、2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)如果 X(k)=X1(k)X2(k)则,或,上式所表示的运算称为x1(n)与x2(n)的循环卷积。,27,循环卷积过程中，要求对x2(m)循环反转，循环移位，特别是两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为,28,由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,29,频域循环卷积定理：如果 x(n)=x1(n)x2(n)则,30,直接计算循环卷积较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT）的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵计算循环卷积的公式。,31,当n=0,1,2,L
9、1时，由x(n)形成的序列为：x(0),x(1),x(L1)。循环移位后可得下面的矩阵：,32,上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列x(0),x(1),x(L1)的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度ML，则需要在x(n)末尾补LM个零后，再形成第一行的循环倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。有了上面介绍的循环卷积矩阵，就可以写出y(n)c的矩阵形式如下:,33,34,按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果h(n)的长度NL，则需要在h(n)末尾补LN个零。【例】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。,35,【解】按照上式写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为,36,37,作业第3章习题1、2、3,38,THE END,
