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1、数学模型 前言,北京理工大学 李炳照/王宏洲,一、关于这门课程,1、本门课程的目的数学模型与数学软件,2、本门课程介绍的主要内容,3、如何尽快掌握建模的方法和思路,A、大量阅读和参考现成的模型；B、亲自动手，多做实际案例。,讲课方式,第2周-第4周：周一至周五 上午8：0012：00；每周20学时，三周共64学时的课程；其中周一、周三上午由我来讲课；周二、周四大家做试验与写论文；9月8日、9月13日、9月14日大家讲。9月17日，本课程的结业考试。,讲课内容,一、数学软件-Matlab；二、数学建模的基本内容；三、往年数学建模竞赛点评与讲解。,数学建模试验和考试办法,2、数学建模试验以数学建模
2、论文、学术论文的形式提交，论文中要说明每个小组成员的分工情况。重点考察数学建模、论文写作以及数学软件的使用情况；,3、9月17日是最后的课程考试，考察是否掌握了数学建模的基本思想和方法。,1、本课程会3-5次数学建模试验，由大家自愿组成小组来完成，每个小组人数不能超过三人。,其它情况说明,1、参加9月全国数学建模竞赛的同学可以不用上本课程，但要参加最后的结业考试；2、申请9月10前提交的全国大学生创新计划项目的同学可获得一定程度的加分；3、在上课期间撰写出正式学术的论文的同学可以获一定程度的加分。,二、什么是数学模型？,北京市区,制订道路交通建设方案,问题一：如何定义产品的寿命？问题二：如何设
3、计低成本、快速的评估方案？问题三：哪些因素对产品寿命影响最大？,如何制订产品寿命评估办法？,什么是数学模型？,数学模型不是我们从小学开始接触到的数学应用题，正确的理解应该是一种“解决方案”，即从问题的原理到最终如何一步步的处理问题，给出的一套完整的解释和可操作的方案.,数学建模的另一个定义,将现实世界中的实际问题提炼成数学问题，并运用数学方法进行分析、预测和控制实际问题。,注意：这里的关键是如何把“实际问题”提炼成数学问题，至于接下来的“运用数学方法进行分析、预测和控制”不是我们这门课程的主要内容。,很多模糊的观念,读书无用论长寿学说中国传统文化无法适应现代生活股市是赚钱的地方,数学模型课程对
4、于我们,对于理学专业的学生是一门专业实践类的课程。,对于非理学专业的学生是研究方法类课程；,作用：了解所学数学知识的应用背景；克服对数学理论的一些片面认识；专门的一个机会，一段时间，重新考虑今后的个人发展思路。,数学模型课程的发展,三、数学建模竞赛,1985年开始由美国工业与数学学会举办数学建模竞赛(MCM),每个大学限4队.1989年我国大学生开始参加美国MCM.1992年，教育部高教司和中国工业与应用数学协会联合举办“中国大学生数学建模竞赛（CUMCM)”2000年，美国ICM(跨学科竞赛)开始.,我校成绩近年来越来越好。2007年美国竞赛中，7个参赛队伍全部获二等奖及以上的奖励，同年全国
5、竞赛30个队伍中有21个队伍获得北京市二等奖及以上的奖励，其中三个全国一等奖；2008年全国竞赛有两个队获全国一等奖，四个队获全国二等奖。,数学建模竞赛的竞赛题,数学建模竞赛题设计要求参赛选手运用数学、计算机技术和问题背景学科等方面知识，解决极富挑战性的实际问题。竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。通常竞赛题有A,B两题，各参赛队从中任选一题。,国内外竞赛的不同特点,数学建模竞赛的参赛形式,开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选
6、一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定：（1）问题分析及假设的合理性；（2）模型的正确性和创造性；（3）运算结果的正确性；（4）结论和讨论的科学性；（5）论文表达的清晰性等。,今天有哪些数学建模竞赛？,全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）甲乙组美国数学建模竞赛（MCM和ICM）全国部分高校研究生数学建模竞赛电工数学建模竞赛国际数学建模问题征答,数学建模竞赛的意义,培养选手进行科学研究的能力培养选手通过研究学习新知识的能力培养选手勇于创新、理论联系实际的学风培养选手相互协调、团结合作的精神极富挑战性的
7、问题，给予选手高强度脑力劳动中挑战极限的体验素质教育的体现直接推动了数学的教学内容、课程体系的改革,成功参赛的要素,浓厚的兴趣敏锐的洞察力和活跃的思维；获取新知识的能力扎实的数学基础熟练的计算机编程清晰的论文表达,怎样准备,养成勤于研究的习惯；选修“数学建模”课程;学习相关数学知识：微积分、微分方程、线性代数、概率统计，运筹学、数学实验、数学建模；熟练运用一门以上运算软件：Matlab,Maple,Mathematica,Lindo,Sas,Spss,C等学会撰写科学论文(说明文)。,推荐参考书,叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四),湖南教育出版社，2001CUMCM优秀论
8、文汇编（1992-2000），中国物价出版社，2002姜启源等，数学模型(第三版)，高等教育出版社，2003刘来福等，数学模型与数学建模(第二版)，北京师范大学出版社，2002.杨启帆等，数学建模，浙江大学出版社，1999.袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，1997.朱道元等，数学建模案例精选,科学出版社，2003胡良剑等，数学实验，上海科学技术出版社，2001,数学建模竞赛网上资源,国际数学模型网：http:/MCM和ICM网站:http:/CUMCM网站:http:/国防科大 浙江大学数学建模基地,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数
9、量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,四、数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象
10、,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,五、什么是好的数学模型？,1、数学模型没有对和错，只有好和更好。,2、经得起实践检验，尽可能浅显，便于实用。,六、数学模型的应用领域,经典物理、力学问题基于精确计算和分析的科技研发工程设计、实施数量经济学、金融领域、企业管理生物、医学和药物研究在结合了高性能计算技术之后，数学模型已经被广泛应用于现代社会的所有层面、所有领域,数学模型 几个简单实例,北京理工大学 王宏洲,速度,大小为 2v,方向始终指向A,解:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所示,则有,B在 t 时刻走过的路程,设敌坦克 A 从点(0,1)出发,以恒速 v 沿 y
11、 轴,示例1：,正向运动,我军反坦克导弹 B 从(1,0)出发,请给出 B 的运动轨迹.,代入消去t 得,两边对 x 求导,得,其初始条件为,解方程得到轨迹,示例2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏)：,3名商人 3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析：,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,建立模型,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,
12、2,sk=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,
13、，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,问题：研究人口变化规律，控制人口过快增长,示例3 如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t)时刻 t 的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的
14、欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),示例4、更复杂一些的模型,比如，考虑出生、死亡、人口年龄结构等更多因素的人口增长模型；,把某些事件发生的随机性考虑在内等。,Matlab 试验,参考附件,
