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1、1、互作用过程,能带论只计及晶格周期场对电子的作用（即原子或离子位置固定的情形）,考虑晶格振动时，原子（离子）偏离平衡位置，引起势能的改变。能带电子将受到晶格位移所产生附加势场的作用，这就是电子和晶格振动的相互作用。,电子与声子相互作用。,导带,价带,在能带极值附近，电子的能量：,由于纵声学模伴随晶体体积和晶格常数的局域变化，因此，将发生移动,电子与声子相互作用的形变势模型,在长波近似下,电子与声子互作用的二次量子化表示为：,代表电子,代表空穴,以上是Hep的一级微扰过程，它用于解释晶体的输运特性。,电子-声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成,（a）先发射后吸收q声子，物理实质是电子带着
2、晶格畸变运动，对电子自能产生修正。（b）为电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正。（c）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为电子之间的有效吸引势，它是产生超导电性的主要机制。,2、电子与声频支声子的相互作用,形变势模型是电子与声子互作用的连续模型 更严格的推导应当从晶格模型出发；对于简单晶格只有声频支振动。,*当离子不动时，电子与离子的互作用为：,*实际上离子在不断地振动，互作用为：,能带电子与晶格振动的相互作用势为,若选布洛赫函数,作为电子系统二次量子化态向量的基函数，则,从单体势容易求出用电子算符表示的电子-声子互作用,由晶体的周期性边界条件
3、得：,对离子势作傅里叶展开,为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取,得到晶格模型中电子与声子互作用的哈密顿,其中利用了,剩下的问题是如何选取倒格矢Kn。当采用简约区方案时，Kn的选取应保证散射后的电子态 也在第一布里渊区内。现在分两种情况讨论：,（1）,*对于金属，采用集体坐标表示。设金属为单价，电子与离子间互作用取库仑势,（2）,k,k,由于从k到k为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转，故常称 的过程为U过程或倒逆过程,U过程主要在高温大q时存在，对金属的高温特性有重要影响,电子-声子互作用过程的守恒定律,*散射前后能量守恒,电声子作用的实（可观察的）过程和虚（不观察的）过程,
4、对于实过程：电声子散射两次平均时间间隔：,3、声子的自能修正,电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正。,考虑单价金属，设N个离子组成的简单晶格浸没在均匀电子气体中 与电子集体振荡相似，未微扰的LA声子频率在长波范围内为,这里取单体积，N=-1，为正点阵元胞体积。LA声子的哈密顿：,集体坐标表示的电子与声子互作用为,金属的总哈密顿量,根据海森伯方程：,可导出运动方程,晶格振动必然产生离子密度的起伏，可用离子密度的傅里叶分量 表示。这个起伏的效果相当于对电子气体加上一外扰动场，引起电子气体的响应运动。,（1）,晶格振动位移将产生极化,由极化可得到离子密度,傅里叶
5、展开,（2）,由于离子运动比电子运动慢得多，因此，离子运动产生的 当作“静态试探电荷”，可用线性响应理论处理：,令,由以上方程可得到,于是得到,这样可得运动方程的右边为,计及电子的屏蔽后，LA声子的运动方程为,由此得LA声子的频率为,如果取托马斯-费米介电函数式,则在长波范围内,最后得到LA声子的色散关系,这就是著名的玻母-司台夫(Bohm-Staver)声速公式,4、电子与光频声子的相互作用,离子晶体中的光频支纵振动会产生极化电场,它将对离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合作用。,耦合作用比LA声子对传导电子的作用强得多。,因此，主要是LO声子与传导电子的相互作用对离子晶体中的载流子特性产生影
6、响。,在长波近似下，LO声子的位移场可写为：,这里M为折合质量，这里还忽略了L对q的依赖关系。,光频支纵振动位移所产生的电场,设晶体的体积V=N=1，那么,LO声子的极化电场可写为,若设电场的势,则由 与前面方程对照可知：,电场的势为：,-e(r)代表r处电子受LO声子作用的势能，即电子与LO声子的相互作用,当uk(r)取自由电子近似时，对于N过程,电子与LO声子的相互作用,电子自能修正计算,当电子在离子晶体中运动时，将使周围的正、负离子产生相对位移，形成介质的局域极化，激发LO声子。电子带着晶格极化运动，必将改变电子的基态能量和有效质量。,（电子+极化）的实体称为极化子(Polaron),极
7、化子是电子与LO声子相耦合系统的准粒子。,当极化的范围比晶格常数大很多时称为大极化子，反之为小极化子。,设导带底|k状态上有一个电子，其能量为,称为慢电子，m为能带电子的有效质量。当T=0K时声子处于真空态|0,故不计互作用时系统的状态为,大极化子的H.Frhlich微扰处理方法,设电子与声子的相互作用比较弱，则可用微扰论计算Hep对电子状态和能量的修正,代表准至Hep 一阶的波函数。这里只考虑到初态为真空态。,准至二阶的电子能量为：,考虑到被积函数随q增大快速下降，积分的上限可取q=,其中 是量纲为1的耦合常数,电子与LO声子相互作用使导带的带边能量降低，而有效质量则相应地增大：,在电子周围
8、所激发的平均声子数为：,不是实的声子，不可能被测得。,微扰处理方法只适应于1的情况。,5、有效电子-电子相互作用,多电子系统与声子互作用情况,一个电子发射的虚声子可能被另一个电子所吸收，从而产生电子与电子之间的有效相互作用。,也就是一个电子发射虚声子，即在这个电子周围产生了晶格形变或极化，当另一个电子也走近形变区，它将受吸引或排斥，但这不是电子间的直接库仑作用，而是一项全新的通过晶格振动传递的有效作用。,我们讨论单价金属中电子与LA声子的互作用,1.电子-电子有效作用的微扰估计,H.Frhlich首先利用二级波恩散射矩阵对电子间交换LA声子的有效互作用进行了微扰估计，他按照下列图形所表示的两种
9、虚声子过程（或中间过程）写出电子通过交换声子的互作用矩阵元为,其中初态和终态分别为：,消去上式中的声子算符，用有效互作用矩阵元,H.Frhlich作了大胆的猜测，他认为电子与电子的有效互作用哈密顿量可表示为,其中,是正是负直接决定非直接互作用是吸引还是排斥势,当 时，在费米面附近 宽度范围内电子间的有效互作用势为吸引互作用。,当 超过屏蔽库仑势时，金属中费米面附近的一对电子具有净吸引作用，形成电子对的束缚态，这就是Cooper对的来源。,这是超导电性产生的基本原因,2.正则变换方法-中岛(S.Nakajima)变换,即电子间有效互作用的严格推导,电子-声子系统的总哈密顿,对本征值为E的多体系统
10、，作正则变换，可求出,为变换后的哈密顿。,且,利用量子力学公式，可将变换后的Hs写为：,*假定H1是一阶项，可选择S使,这样就严格地消去了电子-声子的一阶互作用项，然后讨论准至二阶的哈密顿,其中包括了电子-声子系统的全部二级过程。,变换的母函数S可假定为,将H1代入可得,变换的母函数S被求出,在 中，包含了电声子相互作用的二级过程对电子自能和声子自能修正项,必须去除,对于 求声子真空态的对角平均，可去掉以上项，求得只含电子算符部分,最后可证明电子-声子-电子的有效互作用为：,当 时，,由于晶格畸变以 响应电子，电子在吸收声子后从 过渡到 的快慢由（）量度。,只有当 离子实才来得及跟随电子产生畸变并导致电子（1）周围有正电荷集中，从而使得进入畸变区的另一个电子（2）也受吸引。,物理解释,
