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1、杆件横截面上的应力,第七章,第一节 基本概念,第二节 轴向拉压杆的应力,应力,应变,胡克定律,横截面上的应力,斜截面上的应力,应力：杆件截面上的分布内力集度,平均应力,一点处的总应力,正应力,切应力,应力特征：（1）必须明确截面及点的位置；（2）是矢量，1)正应力：拉为正，2)切应力顺时针为正；（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕),1MPa=106Pa,杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生变形。变形后杆长为l1，直径为d1。,其中：拉应变为正，压应变为负。,轴向(纵向)应变：,研究一点的线应变：取单元体积为xyz,该点沿x轴方向的线应变为：,x方向原长为x，变形后其长度改变量为
2、x,应变,横向应变：,胡克定律 实验表明，在比例极限内，杆的轴向变形l与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成反比。即：,引入比例常数E，有：,-胡克定律,其中：E-弹性模量，单位为Pa;EA-杆的抗拉（压）刚度。,胡克定律的另一形式：,实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数-称为横向变形系数（泊松比）,G-切变模量,假设：平面假设 横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。,拉应力为正，压应力为负。,对于等直杆 当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面-危险截面。危险截面上的正应力-最大工作应力,拉压杆横截面上的应力,FN:横截面上的轴力A：横截面的面积,横截面-是指垂直杆轴线方向的截面；斜截
3、面-是指任意方位的截面。,全应力：,正应力：,切应力：,1）=00时，max2）450时，max=/2,拉压杆斜截面上的应力,试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正应力.已知横截面面积A=2103mm2,例题,20kN,40kN,试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2,例题,FNAB,图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变形L，B点的位移B和C点的位移C,例 题,F,梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。,第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力,纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,纯弯曲时
4、梁横截面上的正应力,实验现象：,1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。,2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。,中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。,平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。,MZ:横截面上的弯矩,y:到中性轴的距离,IZ:截面对中性轴的惯性矩,横截面上正应力的画法：,线弹性范围正应力小于比例极限sp；精确适用于纯弯曲梁；对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。,公式适用范围：,
5、三种典型截面对中性轴的惯性矩,CL8TU6,长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压）,图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,解：1确定截面形心位置 选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:,2计算截面惯性矩
6、,3 计算最大弯曲正应力 截面BB的弯矩为:,在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：,切应力互等定理,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,切应力互等定理：,一、矩形截面梁的切应力,假设：,1、横截面上的方向与FS平行,2、沿截面宽度是均匀分布的,Fs,7-5梁横截面上的切应力,上式中符号意义：,：截面上距中性轴y处的剪应力,：y以外面积对中性轴的静矩,：整个截面对中性轴的惯性矩,b：y处的宽度,对于矩形：,而,因此矩形截面梁横截面上的切应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。,在上
7、下边缘处：,y=0，,图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。,（1）作出剪力图,（2）各点处的切应力,矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max,max。,二、工字形截面梁的切应力,横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5),且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.,三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力,A为圆环形截面面积,图示外伸梁，荷载、T形截面对中性轴的惯性矩IZ 及形心位置已标在图上，试求梁的最大切应力。,解（1）作剪力图，可知危险截面在BC梁段上，（2）梁的最大
8、切应力发生在梁段任意截面的中性轴处,T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知sy=100MPa,yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；,平面应力状态的应力分析 主应力,一、公式推导：,二、符号规定：,角,由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。,正 应 力,切 应 力,使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。,在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。,主应力及最大切应力,切
9、应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令t=0,可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。,即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。,主应力大小：,由s、s、0按代数值大小排序得出：s10s3,极值切应力：,可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。,令：,7 应力集中的概念,构件几何形状不连续,应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。,应力集中 与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。,应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。,静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。,理想应力集中系数:,其中：,-最大局部应力-名义应力（平均应力）,已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.,1、画各点应力状态图,2、计算各点主应力,1点,2点,(处于纯剪状态),3点,(一般平面状态),4点,自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面.,ad面,db面是该点的主平面.,平面应力状态的几种特殊情况,轴向拉伸压缩,弯 曲,平面应力状态的几种特殊情况,
