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1、王 培 荣,材料力学课堂教学课件,2023年5月27日,教学要求,1熟练掌握计算梁变形的叠加法。2掌握梁刚度条件的应用。3.了解提高梁刚度的主要措施。,64 用叠加法求弯曲变形,Deformations by superposition,1.载荷叠加法；2.位移叠加法（逐段刚化法）；3.斜弯曲变形的位移计算。,一、用叠加法计算梁的变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
2、于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,叠 加 法 特 征,1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的矢量和。同一方向的矢量和即为代数和。2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为已知，或有变形表，可供查找。,叠 加 法 特 征,1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的矢量和。同一方向的矢量和即为代数和。2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为已知，或有变形表，可供查找。,叠加法前提,力与位移之间的线性关系 小变形,计算步骤：1.分解：将作用在梁上的复杂载荷分解成简单载荷；2.分别计算：利用简单载荷作用下梁的挠度和转角的计算结果；
3、3.叠加：可求出梁在复杂载荷作用下的变形。,1.载荷叠加法,已知：q、l EI,求：wC,B,怎样用叠加法确定C和wC,例 题,图示悬臂梁受集中载荷F、均布载荷q和集中力偶m的作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,跨度为l，试求B截面的转角和挠度。,A,B,l,q,F,m,A,B,l,m,A,B,l,F,A,B,l,q,解:画出载荷m、F、q单独作用时的悬臂梁,B,wB,ml EI,Fl22EI,ql3 6EI,ml 2 2EI,Fl33EI,ql4 8EI,将各种载荷单独作用引起的变形叠加得:,例 题,图示悬臂梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求B截面的转角和挠度。,A,B,a,q,
4、C,a,A,B,a,q,C,a,A,B,a,q,C,a,A,B,a,q,C,a,例 题,图示梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求C截面的挠度。,A,B,a,q,C,a,解法一,A,B,a,q/2,C,a,A,B,a,q/2,C,a,A,B,a,q,C,a,q/2,解法二,A,B,a,q,C,a,A,B,a,q,C,a,A,B,a,q,C,a,例 题,图示梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求A截面的挠度。,A,a,2q,D,a,a,q,C,B,A,a,2q,D,a,a,q,C,B,A,a,2q,D,a,a,C,B,A,a,D,a,a,q,C,B,qa2,qa2,2qa
5、,2qa,2.位移叠加法（逐段刚化法）,将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移时，叠加得需求之位移。计算步骤：1.分段；2.考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段视为刚化，计算位移；3.叠加。,例题：已知 P,E,G，求C点铅垂位移,分析：AB 弯曲+扭转变形，BC 弯曲变形 故 C点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的B点下沉AB扭转引起C点位移 BC弯曲引起C点下沉,解：采用逐段刚化法,将AB刚化,计算BC弯曲变形引起的 C点的挠度.,(2)将BC刚化,即去掉BC，但保留BC对AB的 作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度,(3)将BC刚化计算AB扭转变形引起的C点的挠度,计
6、算B截面扭转角,所以，C点位移为：,例 题,图示梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求A截面的挠度。,A,a,2q,D,a,a,q,C,B,解:1.先使CB段刚化，只考虑AC段的变形,2.再使AC段刚化，考虑CB段的变形,A,a,D,a,a,C,B,A,a,D,a,a,q,C,B,q,2q,2q,A,a,D,a,a,q,C,B,qa2,2qa,A,a,D,a,a,q,C,B,2q,3.将AC段和CB段变形在A点分别引起的挠度叠加，得,例 题,图示铰接联合梁，受均布载荷q、集中载荷F=qa的作用。若已知梁的抗弯刚度EI及尺寸a。试求B、D两点的挠度。,A,a,D,a,a,q,C,B,
7、F=qa,解:1.先使BD段刚化，只考虑AB段的变形,A,a,D,a,a,q,C,B,F=qa,A,a,q,P=qa,B,2.再使AB段刚化，考虑BD段的变形,A,a,D,a,a,q,C,B,F=qa,a,D,a,C,B,F=qa,将BD段视为外伸梁，由表查得:,3.将AB段和BCD段变形在B点(D点)分别引起的挠度叠加，得,用叠加法求AB梁上E处的挠度 wE,wE=wE 1+wE 2=wE 1+wB/2,wB=?,wB=wB1+wB2+wB3,梁的刚度计算,刚度条件wmaxw,max式中wmax、max是由外力引起的梁中挠度和转角绝对值的最大值，它们可以通过积分法或叠加法计算求得。,(一)校
8、核刚度验算梁是否满足刚度条件。(二)设计截面由刚度条件确定梁所需要横截面尺寸。(三)确定许可载荷由刚度条件确定梁所能承受的最大弯矩；进一步计算出梁所能承受的最大载荷。,刚度条件应用,例 题,工字钢截面悬臂梁AB长l=4m，在自由端作用集中荷载F=10kN。设材料的弹性模量G=210GPa，梁的容许挠度w=l/400。试按刚度条件选择工字钢截面的型号。,F,l,A,B,由刚度条件:,由型钢表查得32a工字钢的惯性矩为11000cm4，它能满足刚度条件，故可选用32a工字钢制作该梁。,66 提高弯曲刚度的一些措施,讨论与思考题,A,a,D,a,a,q,C,B,P=qa,A,a,D,a,a,q,C,B,P=qa,A,a,D,a,a,C,B,P=qa,P=qa,作 业,610（a）、(d)614615621,例：试求B截面的转角和挠度。,3.斜弯曲变形的位移计算,=,?,例题：阶梯形悬臂梁。BC段刚度为EI，AB段刚 度为2EI，自由端C处作用集中力F。,求C处挠度和转角,F,刚化BC,F,
