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1、王 培 荣,材料力学课堂教学课件,2023年5月27日,1.掌握变形体虚功原理及其应用。2.熟练掌握利用单位载荷法计算梁、桁架与刚架的位移。3.了解利用单位载荷法计算相对位移的方法。,教学要求,136 虚功原理,一、虚位移原理,质点或质点系处于平衡状态的必要和充分条件是作用在其上所有的力对于虚位移所作的总功为零。,可变形固体(杆件或结构)的虚位移原理,对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功也必然等于零，即 We+Wi=0式中：We和 Wi分别代表外力和内力对虚位移所作的虚功。,杆件（或结构）的虚位移的基本要求,支座约束条件杆件中各单元体变形的连续条件微小的量,
2、可把杆件由荷载作用产生的微小位移当作虚位移。,一个简单梁的虚位移原理表达式,梁上所有外力(包括荷载和支反力)对于虚位移所作的虚功应为：,从梁中取出任一微段dx来研究梁的内力对于虚位移所作虚功。,对于该微段而言，剪力、弯矩都应看作是外力。这个微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移两部分。由于该微段在上述外力作用下处于平衡状态，根据质点虚位移原理可知，所有外力对于该微段的刚体虚位移所作总虚功必等于零。,在给此梁任意一个虚位移时，该做段的变形虚位移将有如图所示的两组。,由于变形虚位移是个微小的量，弯矩和剪力就只对与其相应的虚位移作虚功。,总虚功为(略去高阶无穷小项）:,该微段的外力虚功与内力虚功之
3、和应等于零的虚位移原理,该微段的内力所作虚功dwi,整个梁的内力虚功为,虚位移原理公式,此杆件的虚位移原理表达式为,在公式中，虚位移,的正负号规定为依次与 Pi、M、Q、N和T的指向或转向一致者为正，相反者为负。,必须指出，在推导杆件的虚位移原理表达式（*）时，完全没有涉及物性方面的问题。因此，虚位移原理表达式（*）既不限定用于线性问题，也不限定用于弹性问题。下面仅讨论该原理在计算线弹性体上指定点位移方面的应用。,137 单位力法 莫尔积分,以实际载荷所引起的位移作为该单位力系统的虚位移，这时，单位力在位移上作虚功，其值为,同时，与单位力平衡的轴力N0(x)、扭矩T0(x)以及弯矩M0(x)，
4、则分别在相应变形上作虚功，整个杆（或杆系结构）的内虚功为,N(x),T(x),M(x)为载荷作用下的内力；N0(x),T0(x),M0(x)为单位力单独作用下的内力。,莫尔定理只适用于线弹性结构:材料线弹性；几何线性；小变形。,在列载荷作用下的内力方程和单位力作用下的内力方程时，坐标选择和分段必须一致。这样，积分才能在同一区间进行。,解 题 步 骤：,1.作单位载荷梁（结构）；2.分段写N(x)、T(x)、M(x)、N0(x)、T0(x)、M0(x)方程；3.用单位载荷公式求。,一般来说，曲杆、刚架内力N、Q影响相对于T、M而言可忽略不计,例 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但
5、不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。,解：画单位载荷图,求内力,5,变形,例 求A点的铅直位移,解：（1）计算曲拐在载荷作用下的弯矩和扭矩,AB段：,BC段：,（2）在A点加铅直方向单位力，单位力引起的弯矩和扭矩为,AB段：,（3）用公式计算A点铅直位移,BC段：,（）,用单位载荷法计算相对位移,前面所计算的位移是结构上某截面从变形前本身原来的位置，到变形后的新位置所产生的位移，也就是相对于该截面本身原来位置的位移。这种位移称为绝对位移。但在某些情况下，有时需要计算结构某一截面相对于该结构上另一个也在移动的截面的位移，也就是指结构上任意两截面间相互位置（距离或
6、倾斜角）的改变，这一种位移称为相对位移。,例如，计算如图所示结构上A、B两点沿连线AB方向的相对位移。,如用单位载荷法计算时，只需在该两点并沿所求位移方向加一对方向相反的单位力 P0=1，然后利用单位载荷法公式进行计算。,M 0(x)为在AB两点同时加一对方向相反的单位力所引起的弯矩方程,同理，要计算梁或刚架上任意两截面间的相对角位移，则只需在该截面处沿所求位移方向加一对转向相反、单位力偶，并仍按上述公式计算。由此可见，上述计算方法同样可推广到计算任何线性弹性结构上某两点，（或两截面）间的相对位移，只需在该两点（或两截面）处并沿所求位移方向加一对方向相反的单位力（或单位力偶）即可。,讨论与思考
7、题,图示 U形刚架，三段长度均为 l，且抗弯刚度相同，试求 Q与 P应具备什么关系才能保证A和 D之间无相对位移（可不考虑轴力 N和剪力 Q的影响）。,A,D,B,C,Q,P,P,l/2,l/2,l,Q=40P/3,作 业,1314 1315 13241326,例：试用莫尔定理计算如图所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB。EI=常数。,例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、。,解：,例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知 GIp、EI为常量,解：(1),(2),(3),
