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1、Page1,对于线弹性体：,（余能=应变能）,卡氏第二定理,卡氏第一定理：,公式中k为广义力Fk的相应广义位移,公式中的广义力Fk为相互独立的变量,Page2,例4：图示刚架，EI为常数，1、求A点的水平与垂直位移；2、分析 的意义。,1、求位移,2、,Page3,讨论,的意义,代表AB两点的相对位移,的意义,Page4,例5：各杆EA相同，求A、B两点的相对水平位移和AB杆的转动角,Page5,求AB杆的转动角,Page6,本 讲 内 容,例 题 分 析,13-5 单位载荷法,13-4 虚功原理,Page7,引言,附加载荷法,在C截面附加一弯曲力偶M,在附加力矩后，使得弯矩方程更加复杂,Pa
2、ge8,回顾刚体虚功原理,处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。,虚位移：,满足约束条件的微小位移,虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关,对于变形体又有什么样的结论？,变形体区别于刚体的两个特点：,除了可以有虚位移之外，还有虚变形,在加虚位移时，外力在虚位移会做功，内力在虚 变形上也会做功,13-4 虚功原理,Page9,变形体虚功原理,结构整体平衡,所有外力构成一组平衡力系,结构任一段平衡,截面上内力与该段外力构成一组平衡力系,可能内力：,满足平衡方程与静力边界条件的内力,对于静定系统，可能内力即为真实内力,对于静不定系统，满足变形协调条件的 可
3、能内力才是真实内力,平衡外力系与可能内力构成静力许可场,Page10,若加一虚位移(可能位移),微段,不同于刚体,可能位移：,满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移,可能位移与变形构成运动许可场,Page11,研究外力和内力所作的虚功,方法：分析微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功,微段的受力分析：,微段上作用有外力和内力,微段处于平衡状态,外虚功：,内虚功：,微段的变形分析：,微段上有(刚体)虚位移和虚变形,We 静力许可场的外力在运动许可场的位移上所作虚功Wi 静力许可场的内力在运动许可场的变形上所作虚功,Page12,微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功(一)：,力系在虚位移上
4、所作虚功,力系在虚变形上所作虚功,刚体虚功原理,外力在虚变形上不作功,内力在虚变形上所作虚功,Page13,微段上力系在虚位移和虚变形上所作总虚功(二)：,外力在虚位移和虚变形上所作虚功,内力在虚位移和虚变形上所作虚功,1、内力均作用于切开面上,2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相 反，总虚位移相同,Page14,变形体虚功原理,处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作 虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。,与虚位移相应,能够与外力平衡,Page15,任意杆件内虚功的计算,Page16,例：验证虚功原理,位移边界条件与变形连续条件,Page17,位移边界条件,静力边界条件,Page18
5、,关于虚功原理：,内力与外力满足平衡方程与静力边界条件,外力在虚位移作功=内力在虚变形作功,虚位移是任意微小的、可能的位移,虚变形是与虚位移相对应的变形,虚功原理适用于线弹性、非线弹性、非弹性结构,静力许可场的外力在运动许可场的位移上所作虚功静力许可场的内力在运动许可场的变形上所作虚功,Page19,13-5 单位载荷法,回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法,直接计算法(画变形图、积分法等),利用功能原理,利用卡氏第二定理,不适宜解决复杂问题,只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移,只适用于线弹性体，对于复杂问题，使内力方程更复杂,单位载荷法：一种新的计算方法。,Page20,单位载
6、荷法,理论基础：变形体虚功原理,任务：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿 任一方向的位移,例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移,A截面上没有作用广义力,杆系结构上作用有多个广义力,所求位移不为某一广义力的相应位移,Page21,方法一：卡氏第二定理,方法二：虚功原理,处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。,选择单位载荷状态,选择虚位移,将真实载荷状态下的位移作为虚位移,Page22,研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。,虚功原理的表达式：,真实载荷在微段引起的虚变形：,单位载荷在微段引起的内力：,忽略剪力的影响,Page23,对于线弹性体：
7、,(a),(b),Page24,对于线弹性体：,(a),(b),Page25,关于单位载荷法的说明：,应用(a)式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件),应用(b)式，只能是线弹性体,式中的A,n也可以是转角(此时单位载荷状态加的 是单位力偶),Page26,式中的A,n还可以是两截面的相对位移或相对转角(此 时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶),按以上公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与 所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。,Page27,例1：求A点的垂直位移。已知杆的抗弯刚度EI与抗扭刚度GIt,选定单位载荷状态,分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布
8、,AB段：,BC段：,代入公式计算位移,Page28,例2：求A端截面的转角。已知梁的抗弯刚度EI,选定单位载荷状态,分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布,AB段：,BC段：,代入公式计算位移,Page29,例3：求图示桁架中AB杆的转角及A、D点沿两点连线的相对位移。已知杆的拉压刚度EA。,选定单位载荷状态,Page30,分别求原始受力状态下和单位载荷状态下，杆的内力分布,单位载荷状态下：,Page31,代入公式计算位移,Page32,例4：如图所示简支梁，试用单位载荷法(或卡氏定理)计算梁变形前后梁轴所围成的面积A*。已知梁的抗弯刚度EI，且材料服从虎克定律。,1,选定单位载荷状态,Page33,例5：已知EI，求A_、A+,解：,(1)求A-,Page34,求A+,Page35,作业：13-17(b),13-18(a),13-22,
