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1、第二章 轴向拉伸和压缩,受力变形特点:外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载),主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。,2.1拉压杆的内力轴力及轴力图,横截面是杆件内最有代表性的截面，其上的内力可用截面法求出。,由隔离体的平衡条件截面上只有截面法向的内力分量 FN(x),称为轴力。,约定使杆件产生纵向伸长变形的轴力为正，即轴力方向与截面外法向一致时为正，反之为负。,以截面位置和内力值为坐标可绘出内力在杆件上的分布图形，称为内力图,而拉压杆的内力图即为轴力图。通常要求内力图画在与受力图对应的位置。,例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。,解：杆件受轴载作用,A 处反力 FA也为轴向外力,
2、故内力为轴力,内力图即轴力图,求支反力,求内力,画内力图（轴力图）,例：图示重量为P 的变截面圆杆的质量密度为，顶端受轴向外载 F，考虑自重的影响，试画该杆的内力图。,解：自重是均匀分布的体积力，在本问题中其合力作用线与轴线重合是轴载。,杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布集度描述,叠加原理适用,拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约定使杆件受拉的轴力为正。轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。轴力图要画在与受力图对应的位置。集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小与集中力的大小相等。轴力对截面位置坐标的一阶导数的
3、大小等于外载分布集度的大小。小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。,拉压杆的内力,2.2拉压杆的应力,一、平面假设 横截面上的应力,几何分析：根据实验观测，假设变形后横截面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平面假设。这样，横截面上各处法向线应变相同，切应变为零。即变形是均匀的。,物性分析：内力与变形有确定的关系，对于连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上的内力为均匀分布的法向内力。即为常量为零。,静力学分析：,变截面杆或分布轴载作用下横截面正应力计算,公式适用于轴载作用的杆件。,2.2拉压杆的应力,二、斜截面上的应力,讨论任一方位截面
4、上的应力及与横截面上应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分布。,斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力,A 横截面面积A 斜截面面积,公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌)称为一点处的应力状态。,单向(单轴)应力状态,例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm，t=10mm，=30o。试求焊缝内的应力。,F,F,b,t,解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力,先计算横截面上的应力,再用斜截面应力公式计算要求的应力,即焊缝处的正应力为7.5MPa，切应力为4.33MPa。
5、,拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面上正应力为常量，切应力为零。对正应力规定拉应力为正，压应力为负。两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切应力为正。过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉压杆内各点为单向应力状态。,拉压杆的应力,2.3拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形,实验表明，当 F 在一定的范围时，有：,胡克定律,E 称弹性模量或杨氏模量,与应力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。,2.3拉压杆的变形,
6、二、拉压杆的横向变形,实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：,即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为泊松比。,弹性模量 E 和泊松比都是材料的弹性常数，由实验测得。,例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面C 的轴向位移。,解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程,杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的伸长量。,将 x=l 和 x=l/2 代入，得：,B、C 两截面的相对轴向位移为：,位移是力的线性函数叠加原理适用,例：图示桁
7、架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。,解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力,(拉伸),(压缩),节点 A 变形后的新位置 A,小变形,在小变形下，可用切线代替弧线，则A 可视为A的新位置,由几何关系，可求得：,解：采用解析方法求节点位移,在小变形下，节点位移与杆件变形的关系,则有：,例：图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E
8、1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。,代入各杆参数：,解：采用解析方法求节点位移,例：图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。,拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。除轴向变形外还会有横向变形，且与
9、轴向变形保持一定的关系，即泊松效应。杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得到简化。小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。,拉压杆的变形,应力-应变图-曲线,F/A,2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能,一、低碳钢在拉伸时的力学性能,弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失,线弹性阶段 OA,非线性弹性阶段 AD,屈服阶段 产生残余变形，应力基本不变而变形继续增加。,强化阶段 要使变形增加，需要加大应力。,颈缩阶段,F,比例极限,弹性极限,屈服极限,强度极限,冷作硬化,拉伸图
10、,2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能,二、其他材料在拉伸时的力学性能,塑性材料,名义屈服极限或屈服强度,F/A,脆性材料,直到拉断也没有明显的残余变形，断口为横截面。,2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能,三、材料在压缩时的力学性能,塑性材料,屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限,脆性材料,压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限,压缩试件,2.5拉压杆的强度计算,一、许用应力,许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力,n为大于1的系数，称安全系数,二、强度条件,2.5拉压杆的强度计算,三、强度计算,1.强度校核：给定构件形式、材料、尺寸和载荷工况，校核构件是
11、否满足强度条件。,3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷的最大许用值。,2.确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截面尺寸。,如果最大工作应力超过了许用应力，但超过量在5%以内，在工程设计中仍然是允许的。,2.5拉压杆的强度计算,四、应力集中对强度计算的影响,应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。,K 称为应力集中因子(系数)1,对于塑性材料制成的构件，静载作用下强度计算可以不考虑应力集中的影响。,对于脆性材料制成的构件，强度计算则必须考虑应力集中的影响。但铸铁材料例外。,例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且
12、l=2r。工作压力 F=3274kN，连杆 AB 横截面为矩形，高与宽之比 h/b=1.4，材料为45号钢，许用应力=90MPa。试设计截面尺寸h和b。,F,解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用,计算 AB 杆的轴力：,当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大,(受压),确定连杆截面尺寸：,例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根6.3（边厚为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应力t=160MPa，许用压应力c=90MPa，试确定许用载荷 F。,2,1,解：求各杆内力与载荷 F 的关系,根据强度条件确定许用载荷,AC杆：,AB杆：,
13、许用载荷,(拉),(压),查表得：,2.6拉压超静定问题,未知力可由平衡方程完全确定的问题称为静定问题。未知力的数目超过独立平衡方程的数目，仅用平衡方程不能确定所有的未知力，称为超静定问题。而超出的未知力数目，称为超静定次数。,超静定结构都存在多于维持平衡所必需的约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束的数目即为超静定次数。,解除多余约束，代之以相应反力，可得到含有未知外力作用的静定结构,称为原超静定结构的静定基(基本静定系统)。,A,D,C,B,1,2,超静定系统受力变形必须满足平衡条件、物理关系及变形几何相容关系，综合三方面考虑，除平衡方程外还可建立足够数量的补充方程，从而能求解出全部未知
14、力。,一、外力作用下的超静定问题例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件EC 及FD 组成，在B端受力 F 作用。两弹性杆的拉压刚度分别为E1A1 和E2A2。试求杆EC 和 FD 的内力。,解：一次超静定问题，取AB 杆为研究对象,变形几何相容条件(变形协调条件)：,平衡条件：,由胡克定律：,联立求解得：,平衡方程,补充方程,结果表明，超静定结构中各杆件的内力与其刚度相关,FA,FB,A,B,C,F,l,a,b,解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。,FA,取静定基，求出杆内轴力：,根据原结构的约束情况，有变形协调条件:,求C 处的位移(水平位移)：,注意：Ax=l，即变形变形协调条件可以用多余
15、约束处的约束条件表示；所有未知力也都可用多余反力表示。从这一点入手，可以导出求解超静定问题的典型方法。,变形协调条件也可表示为,一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移。,一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移。,FA,FB,A,B,C,F,l,a,b,解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。,取静定基，将与被解除的多余约束相应的反力(或内力分量)作为基本未知量，且用 Xi 表示，相应位移记i。分别计算原有外力以及每个基本未知量相应的单位力单独作用时的支反力和杆内轴力，并画出相应的内力图：,利用平衡条件:,利用多余约束
16、处的变形协调条件:,可得到关于基本未知量的方程，且方程数目与基本未知量数目相同，这样的方程或方程组称为原超静定问题的基本方程。,其中ij 是与Xj 相应的单位力对位移i 的影响，称为影响系数。,一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移。,FA,FB,A,B,C,F,l,a,b,解：一次超静定,分别计算各影响系数和自由项,求C 处的位移(水平位移)：,代入方程求解得,二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求当杆1
17、的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。,解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或收缩，即温度变形，对超静定结构,这种温度变形会受到限制从而产生相应的应力,称为热应力(温度应力)。,变形协调条件及补充方程：,平衡条件及平衡方程：,变形分析：一次超静定结构,假如没有杆2的限制,杆1由于温度升高可自由伸长到A1,而因杆2的限制,实际伸长到A。,二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。,解
18、：,联立求解得：,各杆内的热应力：,二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数l=1.210-5 oC-1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。,解：一次超静定问题，去掉多余杆件杆2，代之以未知内力X，得到原结构的静定基。,变形协调条件、基本方程：,求静定基内力：以AB 杆为研究对象,二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量E=210GPa，线膨胀系数l=1.210-5 o
19、C-1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。,解：,求解得：,B,而对超静定结构，各杆件的变形受到约束，一般会产生附加内力，相应的应力称为装配应力或初应力。,二、热应力 初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和E 3A 3，因制造误差，杆3 比其应有的长度 l 短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。,解：杆件制成后尺寸有微小误差是难免的。在静定结构中,这种误差只会使结构形状略为改变，不会引起附加内力。,平衡条件：A 点为研究对象,A,二、热应力 初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和E 3A
20、 3，因制造误差，杆3 比其应有的长度 l 短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。,解：,变形协调条件：,即：,A,二、热应力 初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为E1A1、E 2A 2和E 3A 3，因制造误差，杆3 比其应有的长度 l 短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。,解：,求解得：,A,（受拉）,（受压）,2.7连接部分的强度计算,工程中拉压杆与其他构件之间常用螺栓、销钉及铆钉等连接件相互连接。连接部分的受力变形是复杂的局部应力问题。工程中采用实用计算方法。,剪切变形,Fb=F,Fb=F,挤压,一、剪切强度的实用计算,剪切面上只有切向的内力分量，称为剪力，用FS
21、表示。,剪力是截面上切应力的合成结果，实用计算中假定切应力均匀分布，则相应强度条件为：,A为剪切面的面积,称为许用切应力,二、挤压强度的实用计算,接触面上的挤压力Fb 是正应力的合成结果，实用计算中采用名义挤压应力。,C,2.7连接部分的强度计算,三、铆钉组受力的实用计算,外力作用线过铆钉组截面形心：,假定各个铆钉受力情况相同，则每个铆钉横截面上的剪力相等：,传递力偶矩的铆钉组：,假定过铆钉组截面形心的直线保持为直线，各铆钉受力垂直于该铆钉截面形心和铆钉组截面形心连线，大小和距铆钉组截面形心的距离成正比。,n 为铆钉的个数,例：图示铆接接头受轴向拉力 F 作用，求该拉力的许可值。已知板厚=2mm，板宽 b=15mm,铆钉直径 d=4mm，许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=300MPa，许用拉应力=160MPa。,解：接头破坏形式分析,铆钉的剪切破坏,铆钉与孔壁相互挤压，产生显著塑性变形,板沿被削弱的截面拉坏,板的剪切破坏，当 a2d 时，这种破坏形式可以避免，通常不考虑,剪切强度计算,挤压强度计算,例：图示铆接接头受轴向拉力 F 作用，求该拉力的许可值。已知板厚=2mm，板宽 b=15mm,铆钉直径 d=4mm，许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=300MPa，许用拉应力=160MPa。,剪切强度计算,挤压强度计算,板(杆)拉伸强度计算,接头的许用拉力为,解：,
