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1、12 条件概率与乘法法则,一、条件概率,二、乘法概率,三、全概率定理与贝叶斯定理,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、条件概率,定义 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)。相应地，把P(A)称为无条件概率。注：1.这里，只研究作为条件的事件B具有的正概率(P(B)0)的情况。2.条件概率也是一种概率，它有概率的三个基本属性。,下页,例 1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若事件A，A分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概
2、率。,解：依题意 P(A)=70%,P(A)=30%P(B|A)=95%,P(B|A)=80%进一步得出，P(B|A)=5%,P(B|A)=20%,例2 全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（用事件C表示）40人中有32名学生，8名女生。试写出P(A),P(B),P(B|A),P(AB),P(C),P(C|A),P(A|B),P(AC)。,解：依题意，有P(A)=80/100=80%;P(B)=20/100=20%,P(B|A)=12/80=15%,P(A|B)=12/20=60%,P(AB)=12/100
3、=12%,P(C)=40/100=40%P(C|A)=32/80=40%,P(A|B)=12/80=15%,P(AC)=32/100=32%,从例子中可以看出,所以，把上面这两个公式就作为条件概率P(B|A)和P(A|B)的计算公式。,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,(二)乘
4、法法则,乘法法则：1.两个事件A、B之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即,2.关于n个事件A1,An的乘法公式为,例3 求例1中从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。,解：利用乘法公式，有P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7X0.95=0.665,例4 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。,解 设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，由公式得,（三）全概率定理与贝叶斯定理,例5 计算本例1中市
5、场上灯泡的合格率。解：由于B=AB+AB，并且AB与AB互不相容，有 P(B)=P(AB+AB)=P(AB+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.905进一步可以计算买到的合格灯泡恰是甲厂生产的概率P(A|B):,定理1.1（全概率定理）如果事件A1,A2,构成一个完备事件组，并且都具有正概率，则对任何一个事件B，都有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),证 由于A1,A2,两两互不相容，因此，A1B,A2B,也两两互不相容。而且 B=B(Ai)=(AiB),由加法法则得 P(B)=P(AiB)再利用乘法法则得到 P(B)=P(Ai)P(B|Ai),例6 12个乒乓球都是新
6、球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。,解 设事件Ai,Bi,Ci分别表示第一，二，三次比赛时取到i个新球（i=0,1,2,3）。显然A0=A1=A2=,A3=,并且B0,B1,B2,B3构成一个完备事件组，有,定理1.2（贝叶斯定理）若A1,A2,构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B，有,例7 每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.,解,(1
7、)P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),例8 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.,解 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai(i=1,2,.,5)相互独立,P(B0)=,=(1-0.6)5,=0.45,P(B1)=,=50.6(1-0.6)4,例8 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.,即,(i=0,1,2,3,4,5),类推得,P(B3),P(B4),P(B5),P(B2),解 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai(i=1,2,.,5)相互独立,作业,习题一：21，23，27，28（P27-28）,
