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1、,我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型,一、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.,e1,e2,，eN,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.,e1,e2,，eN,试验结果,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,因为抽取时这些球是完全平等的
2、，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,我们用 i 表示取到 i号球，i=1,2,10.,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.,S=1,2,10,则该试验的样本空间,如i=2,称这种试验为有穷等可能随机试验 或古典概型.,定义1 若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.,二、古典概型中事件概率的计算,记 A=摸到2号球
3、P(A)=?,P(A)=1/10,记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例”转化为“概率”,记 B=摸到红球 P(B)=6/10,静态,动态,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,这样就把求概率问题转化为计数问题.,定义2 设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率(Classical Probabilities).这种确定概率的方法称为古典方法.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,请回答：,1、怎样的一类随机试验称为古典概型？,2、如何计算古典概型中事件的
4、概率？为什么这样计算？,下面我们就来介绍如何计算古典概率.,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1.加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共有n1+n2+nm 种方法.,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3+2 种方法,回答是,2.乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个
5、男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.,三、排列、组合的几个简单公式,排列和组合的区别：,顺序不同是不同的排列,3把不同的钥匙的6种排列,而组合不管顺序,从3个元素取出2个的排列总数有6种,从3个元素取出2个的组合总数有3种,1、排列:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同排列总数为：,k=n时称全排列,排列、组合的几个简单公式,例如：n=4,k=3,第1次选取,第2次选取,第3次选取,从n个不同元素取 k个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为
6、：,例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,2、组合:从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同组合总数为：,你能证明吗？,3、组合系数与二项式展开的关系,令 a=-1,b=1,利用该公式，可得到许多有用的组合公式：,令 a=b=1,得,4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,rk的分法总数为,n个元素,因为,请回答：,对排列组合，我们介绍了几个计算公式？,排列：选排列，全排列，,下面我们就用这些公式来计算.,分组分配.,组合；,允许重复的排列;,四、古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将
7、卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,解：,=0.3024,允许重复的排列,问：,错在何处？,例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-
8、9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.,计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.,从10个不同数字中取5个的排列,例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,解：令B=恰有k件次品P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件正品,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,例5 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求
9、 64 个人中至少有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要
10、遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩下的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考：还有其它解法吗？,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质
11、上属于同一类型：,有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n 365)个人的生日互不相同的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.,你还可以举出其它例子，留作课下练习.,2o 生日问题 某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题
12、将张三、李四、王五3人等可能地分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,这一讲，我们介绍了古典概型.古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用.,是常见的几种模型.,箱中摸球,分球入箱,随机取数,分组分配,课下可通过作业进一步掌握.,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,几何方法的要点是：,1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为(S);,2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面
13、积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.,3、设事件A是S的某个区域，它的面积为(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为,（*）,4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.,蒲丰投针试验,法国自然哲学家蒲丰先生经常搞点有趣的试验给朋友们解闷。,数学家蒲丰(Buffon，Georges Louis）(1707-1788),1777年的一天，蒲丰先生又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是
14、平行线之间距离的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。”客人们好奇地把小针一根一根地往纸上乱扔。,最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次，其中与直线相交的就有704次。用704 去除 2212，得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率的近似值。”这时，众宾客哗然：“圆周率?这根本和圆沾不上边呀?”,蒲丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑，这的确就是圆周率的近似值。你们看，连圆规也不要，就可以求出的值来。只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。”这就是数学史上有名的“投针试验”。下面我们来看蒲丰先生是怎样求出的：,蒲丰投针试验,例6177
15、7年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.,解,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,单击图形播放/暂停 ESC键退出,利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的.,而几何方法的正确运用，有赖于“等可能性”的正确规定.,考虑用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有无限多个，而且这些结果也不具有前述几何概率定义中的“等可能性”.,那么，如何
16、知道误差落在某个范围内的概率呢？,对于这个问题，学了下一讲后，你就能回答了.,再如，一射手向一目标射击，“中靶”与“脱靶”一般不是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢？,那么,两人会面的充要条件为,例6 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间 t(tT)后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有,费尔马大定理（1637年）,1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术
17、”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：,费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。,历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。令无数人耗尽心力，空留浩叹。,1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。,童年就痴迷于此的英国学者怀尔斯，潜心研究数年，终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。1995年，A.Wiles用108页论文证明了费尔马大定理。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国数学年刊第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。,
