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1、第四节 极限运算法则,一、极限运算法则二、求极限方法举例三、小结 思考题,一、极限运算法则,定理1,证,由无穷小运算法则,得,1.四则运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,求复合函数的极限时,常可用“换元法”简化运算.,2.复合运算法则,例,解:直观地看.,当x1时,lnx0,而当lnx0时,cos(lnx)cos0=1.,或者,令u=lnx,当x1时,u0,代入,这种方法称为换元法.使用时,将原式中所有x换写成u的表达式.极限过程xx0换成相应的u的极限过程.,定理2.设y=f(x)由y=f(u),u=(x)复合而成.,且在x0的某去心邻域(x0)内,(x)u0,
2、证(略).,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,解,(分子、分母有理化法),例6,例7,解,先变形再求极限.,能够用极限的和的运算法则吗?,例8,解,例9,解,左右极限存在且相等,例10,解,代入,x0+,解 这是一分段函数.分段点x=0.,在分段点处极限要分左,右极限讨论.,分段函数,=2,=b,故,当b=2时,f(0+0)=f(00)=2,例12,解,三、小结,1.极限的四则运算法则及其推论;2.复合运算法则;,3.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,
