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1、第五章,极限定理,XB(n,p),以i表示第次试验A发生的次数,以X表示n重贝努里试验A发生次数,EX=np,DX=npq,大数定律,i独立同分布,中心极限定理,i独立同分布,且E(Xi)=,D(Xi)=2,5.1 大数定律,大数定律 表达了大量随机变量平均值的稳定性.,贝努利大数定律 以nA是n次贝努利试验中A出现的次数,P(A)=p,则当n时,有:,表达了频率的稳定性.,XB(n,p),X表示n重贝努里试验中A发生次数.,有,辛钦大数定律 设随机变量X1,X2 Xn 相互独立,服从同一分布，数学期望 E(Xi)=(i=1,2),则对于任意正数,有,表达了随机变量算术平均值的稳定性.,例5.
2、2 设电站供电网有 10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7,假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在 6800与 7200之间的概率.解：设X表示同时开着的灯数,有X b(10000,0.7).E(X)=7000,D(X)=2100,5.2 中心极限定理 观察结果表明：大量相互独立的随机变量之和,每个随机变量对总和的影响都很小,近似服从正态分布.独立同分布的中心极限定理设X1,X2.Xn独立同分布,E(Xi)=,D(Xi)=2,当n充分大时,有,即,例5.3 一个螺丝钉重量时一个随机变量,期望值是1两,标准差是0,1两.求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过 10.2 斤的概
3、率.解 设一盒重量为X,第i个螺丝钉重量为Xi,有 E(Xi)=1,D(Xi)=0.01,有 X N(100,1).,例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数是随机变量,期望值 2,方差 1.69.求在100次轰炸中有 180到 220 颗炸弹命中目标的概率.,解:以Xi表示第i次轰炸中命中目标的炸弹数,则 有 X近似服从N(200,169).,设XB(n,p),则X表示n重贝努里试验中A发生次数.,德莫佛-拉普拉斯定理 设随机变量 XB(n,p),则当n充分大时,有,即,例 已知生男孩的概率为0.515,求在10000新生儿中女孩不少于男孩的概率.,解:以X表示10
4、000个新生儿中的男孩数,则 Xb(10000,0.515),X近似服从正态分布 N(5150,2498)所求概率为PX5000,例 保险公司有10000个同龄同阶层的人参加人寿保险,该类人一年内死亡的概率为0.006，每个参保的人在年初付12元保险费，死亡时家属可领得1000元.问保险公司亏本的概率.,解:设这10000人中一年内死亡的人数为X，则 Xb(10000,0.006),X近似服从正态分布N(60,59.64),P亏本=PX120,第六章,样本及抽样分布,第一节 随机样本研究对象的全体称为总体.每一个元素称为个体.总体用随机变量X表示.从总体中随机独立抽取一部分个体进行观察,所抽得
5、的个体称为样本.样本 的观察值x1,x2.xn称为样本值.总体X的分布函数为F(x),则样本X1,X2.Xn的联合 分布函数,样本用随机变量X1,X2Xn表示.,例 考察某种型号灯泡的寿命，,设为 X,总体X服从指数分布(),从中随机独立抽取个个体,设为X1,X2 X,x1=1010,x2=1020,x=1000,x=990,x5=980。,X可能为到正无穷上任一值。,则X1,X2X相互独立且Xi(),例 考察某厂家生产的彩电是否合格,总体X(0-1)分布,从中随机独立抽取5台,则 X1,X2 X5相互独立且 Xi(0-1)分布.x1=1，x2=0，x=1，x=，x5=1。总体分布P X=1=
6、p，X=0=1-p，常写成P X=x,合格率为p，,x=0或。,px(1-p)1-x,分别以 X1,X2 X5表示,例 某种炮弹的炮口速度,随机独立抽取发,则X1,X2X相互独立且 Xi N(,2).x1=3,x2=4,x=5,x=6,x5=7。,设为X,总体服从正态分布(,2),样本方差,样本均值,分别以X1,X2 X表示炮口速度,但,2未知，,样本k阶矩,样本k阶中心矩,例 总体X的期望,方差分别为 X1，X2Xn为来自总体X的样本,求,第二节 抽样分布,分布的概率分布密度为,1、分布,分布具有以下性质:,XN(0,1),若 满足条件,称 为标准正态分布的上 分位点.,2、t分布,t(n)分布的概率密度函数为,t(n)分布的图形：,t(n)分布的上 分位点记为,满足：,3、F分布,概率密度函数为,的上 分位点记为，即它满足,FF(n1,n2),则,性质,证:,例6.2 设总体XN(62,102),为使样本均值大于60的概率不小于0.95,问样本容量 n至少应取多大?解,设总体XN(,42),X1,X2.X10为来自总体的一个样本,s2为样本方差,且 P s2 a=0.1,求a.解,P s2 a=,
