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1、2.3 极限应用的一个例子 连续函数,连续函数的概念 反函数和复合函数的连续性 初等函数的连续性,连续函数的概念,1.连续函数的两个定义,设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示,x=xx0,称为自变量,在点x0的改变量或增量.,y=f(x)f(x0)或 y=f(x0+x)f(x0)称为函数的改变量或增量.,设函数f(x)在点x0的邻域内有定义,当xx0时f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值f(x0),即,定义1,则称函数f(x)在点x0处连续,x0称为函数f(x)的连续点.,如果函数在某一区间的任意一点都连续,则称此函数是该区间上的连续函数.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例
2、1.证明函数,在x=0处连续.,证,又 f(0)=0,则,由定义1知,函数f(x)在x=0处连续.,则称函数f(x)在点x0处连续,设函数f(x)在点x0的邻域内有定义,当x=xx00时,y=f(x)f(x0)0,即,定义2,函数在一点处连续的本质特征:自变量变化很小时,函数值的变化也很小.,例2.证明正弦函数y=sinx在区间(,+)内连续.,证,任取x(,+),y=sin(x+x)sinx,由于|sin|，,当x0时,y0,则|y|x|.,即sinx在点x处连续.,由x的任意性,命题得证.,2.函数的间断点,由定义1,函数f(x)在点x0处连续应同时满足三个条件：,(1)f(x)在点x0处
3、有定义,(2),存在,(3),如果这三个条件至少有一个不满足,则称函数f(x)在点x0间断,x0称为函数的间断点.,例如,函数,在x=0处无定义,所以x=0是该函数的间断点.,例如,函数,在x=0处极限不存在,所以x=0是该函数的间断点.,另:第二个条件可以用“左、右极限存在 且相等”来代替,用于讨论分段函数的 连续性.,例3.讨论函数,在x=0处的连续性.,解：,左、右极限存在但不相等,故,不存在,即该函数在x=0处间断.,例4.,问a为何值时,f(x)在x=0连续.,解:f(0)=3,=3,为使f(x)在x=0连续,必须 f(00)=f(0)=f(0+0),即,a=3.,故 a=3时,f(
4、x)在x=0连续.,=a,或f(x)在点x0处无定义,则称点x0为函数f(x)的可去间断点.,间断点的类型,1.跳跃间断点 如果f(x)在点x0左、右极限都存在,但,则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点。,如例3,2.可去间断点 如果f(x)在点x0处的极限存在,但,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:函数在点x0处的左、右极限都存在.,第一类间断点,第二类间断点 如果f(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在,则称点x0为函数f(x)的第二类间断点.,无穷型,振荡型,第二类间断点,例.确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,连续函数求极限的
5、法则,设函数f(x)在点x0处连续,则,连续函数求极限的法则：连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值（极限符号可以与函数符号互换）.,例1.求,解：,可以证明，函数cosx在(-,+)内为连续函数.,函数cosx在点x=处连续.则,=cos,=1,初等函数的连续性,1.连续函数的四则运算2.反函数和复合函数的连续性3.初等函数的连续性,(g(x0)0)在点x0处也连续.,1.连续函数的四则运算,若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)g(x),f(x)g(x),例如，sinx,cosx在(,+)内连续,故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续.,2.反函数
6、和复合函数的连续性,定理1 单调连续函数的反函数仍是单调连续函数.,例如,y=sinx在/2,/2上单调增加且连续,故y=arcsinx在1,1上也单调增加且连续.,同理y=arccosx在1,1上单调减少且连续,y=arctanx,y=arccotx在(,+)上单调且连续.,定理2 连续函数的复合函数仍是连续函数.,例如,在(,0)(0,+)内连续,y=sinu在(,+)内连续,在(,0)(0,+)内连续.,3.初等函数的连续性,常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,指数函数y=ax(a0,a1)在(,+)内单调且连续.,对数函数y=logax(a0,a1)在(0,+)内
7、单调且连续.,幂函数y=x,而y=au,u=logax在(0,+)内连续.,讨论不同值,幂函数均在其定义域内连续.,可知,所有基本初等函数在其有定义的区间内连续.,进一步,初等函数在其有定义的区间内连续.,是初等函数,在点x0=1处有定义,例.求,解：,原式=,故在x0=1处连续,由连续函数求极限的法则,有,思考题,设,已知f(x)在x=0处连续,试确定a和b的值,答案：(a=1,b=e),闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理二、介值定理,1.最大值和最小值定理,定理1(最大值和最小值定理)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.,至少存在一个最高点(x1,f(x1)和最低点(x2
8、,f(x2),使得xa,b,有f(x1)f(x)f(x2)f(x).,1.若区间不是闭区间,定理不一定 成立,2.若区间内有间断点,定理不一定 成立,注意:,但它既存在最大值,也存在最小值.,推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,例如,符号函数,不是连续函数,应注意条件与结论之间的逻辑关系.,2.介值定理,定理2(介值定理)若函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b),为介于f(a)与f(b)之间的任意一个数,即f(a)f(b),则至少存在一个内点(a,b),使得f()=.,连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=至少有一个交点.,推论(根的存在定理)若函数f(x)
9、在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号,则至少存在一个内点(a,b),使得f()=0.,连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的两侧,则曲线弧与x轴至少有一个交点,若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭区间a,b两个端点处的函数值异号,则该方程在开区间(a,b)内至少存在一个根.,应用:,例1.证明方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.,证,令f(x)=x34x2+1，,则f(x)在区间0,1上连续.,又 f(0)=1,f(1)=2,由根的存在定理,(0,1),使f()=0.,即342+1=0.,故方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.,0,0,例2.设函数f(x)在区间a,b上连续,且f(a)b,证明(a,b),使f()=.,证,令F(x)=f(x)x,则F(x)在a,b上连续.,而F(a)=f(a)a,0,F(b)=f(b)b,0.,由根的存在定理,(a,b),使F()=f()=0,即f()=.,例3.,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,
