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1、第三章 刚体的定轴转动,3.1 刚体的运动,3.2 刚体定轴转动定律,3.3 转动惯量的计算,3.4 刚体定轴转动定律的应用,3.5 转动中的功和能,3.6 刚体的角动量和角动量守恒定律,卡尔文森号,刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。,刚体运动的基本形式：,平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终 保持彼此平行。,3.1 刚体运动的描述,转动：刚体围绕某一固定直线作圆周运动。,一、刚体的平动,定轴转动：刚体绕一 固定不动轴转动。,转动平面：垂直于转动轴所作的平面,二、刚体的定轴转动,旋转加速度,向轴加速度,定轴转动：退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且，都相同。,M,一、力矩,
2、3.2 刚体定轴转动定律,1.力在转动平面内,只能引起轴的,2.力不在转动平面内,变形，对转动无贡献。,3.多个力作用的情形,二、转动定律,应用牛顿第二定律：,对运动状态（转动）改变没有影响,刚体上各点都有这样的运动方程，应把所有方程迭加才是刚体整体运动规律，但应切向力分别作用于各个质点上，且方向各不相同，因而求代数和没有意义,令：,转动定律：,讨论：,4.J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。,3.J 和质量分布有关。,2.M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。,惯性大小的量度。,3.3 转动惯量的计算,J由质量对轴的分布决定。,5.回转半径：假想将物体的质量集中
3、在半径为 rc 的细圆环上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体的回转半径。即任何物体的转动惯量为：,例：如图系统的转动惯量，轻杆质量忽略,例 均质细圆环的转动惯量。,(1)、,(2)、,dm=m/(2R)Rd,例 质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量。,方法一、,方法二、,思考球体、锥体绕轴转动的转动惯量,例 质量为m,长度为 L 的均质细杆的转动惯量。,dm,J,y,ri,x,z,yi,xi,mi,例.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）,解：,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,3.4 转动定律应用举例,解：动力学关系：,运动学关系：,分析：
4、,T,R,J,=,(1),mg,T,ma,-,=,(2),例：飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000rmin，现要求在 5s内使其制动，求制动力 F,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。,=104.7 r/s,例 在图示的装置中，质量为m和2m、半径为r和2r的两均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端挂有一质量为m的重物，求盘的角加速度大小。,2r,r,2m,m,m,m,T1,T2,例：如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮
5、的转动惯量为J,半径为 r。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T2 与 T2（设绳子与滑轮间无相对滑动）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T1与 T2。,解：(1),例 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：,解：,例：质量为 m,半径为 R的均质圆盘，初始时有 0，盘与桌面间的摩擦系数为，问经多长时间圆盘才停止转动？此时圆盘转过的角度?,解：,由,考虑 r r+dr 环,dM=,r d f,例：弧形闸门更省力,据试验重心距绞链处为 0.7R对O的总转动惯量为,设：弧形门叶以切向加速度at=
6、0.1g 转动,如以同样加速度提升同样重量的平面闸门,一、力矩的功,对于恒力矩：,功率:,3.5 定轴转动中的功能关系,二、动能定理,刚体定轴转动力矩的功等于刚体动能的增量,三.定轴转动的功能原理,质点系功能原理对刚体仍成立：,刚体重力势能：,解：,例 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：,例.一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？,m,M,m,解：,解得：,例10.长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由
7、静止释放，摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：细直杆的质量M；碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）,解,按角动量守恒定律,系统的动能守恒,解得,系统的机械能守恒，有,例例：一脉冲星质量为1.5l030kg，半径为 20km。自旋转速为 2.1 r/s，并且以1.010-15 r/s 的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。,解：,=1.981025 J/s,例：如图，弹簧的劲度系数为 k=2.0N/m，轮子的转动惯量为 0.5kg.m2，轮子半径 r=30cm。当质量为60kg的
8、物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。,解：由功能定理,若要求加速度（角加速度）如何进行运算？,3.6,刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,对点：,一、对轴的角动量,对于既有刚体又有质点的系统,二、角动量原理,质点系的角动量原理,.,为质点系的角动量原理,等式左、右两边相加,二、角动量守恒,例：,作弹性碰撞，求碰后棒的角速度和小球的回弹速度v,系统对轴角动量守恒：,系统机械能守恒：,联立方程（1）、（2）求解可得,例 人和转盘的转,J,2,r,r,1,0,r,r,1,2,m,m,I,0,1,求：双臂收缩,为,初始转速为,的质量,m,动惯量为,械能,变为,哑铃,时
9、的,由,角速度及机,增量。,非保守内力作正功，机械能增加,r,r,1,2,m,m,J,0,1,由角动量守恒,例 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。,试求：1.碰撞后系统的角速度；2.碰撞后杆子能上摆的最大角度。,碰撞过程角动量守恒,得：,上摆过程机械能守恒，得：,由角动量守恒得：,0,摩擦力矩作负功，有机械能损失。,解：由角动量守恒得,例*：在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为 m的人。圆盘的半径为，转动惯量为J，角速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。,解：系统角动量守恒,解：,碰撞 t 极小，对 m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,则：,求：棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。,解：由角动量守恒得,棒上dx段与桌面间的摩擦力为：,dx段所产生摩擦力力矩为：,J,摩擦力力矩为：,由角动量原理：,所用的时间为：,
