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1、单纯形法求解动态演示,在求解LP问题时,有人给出了图解法,但对多维变量时,却无能为力,于是美国数学家GBDantgig(丹捷格)发明了一种“单纯形法”的代数算法，尤其是方便于计算机运算。这是运筹学史上最辉煌的阶段。,线性规划问题标准型的矩阵形式：Max Z=CX（a）s.t.AX=b（b）X 0（c）,a11 a12.a1n b1 A=a21 a22.a2n b=b2 am1 am2.amn bm,一、关于标准型解的若干基本概念,基矩阵 示例:,0,0,0,0,3,2,0,2,0,0,0,1,0,1,0,x1,x2,x4,x3,0,0,1,3,0,0,3,2,1,=,目标函数,约束条件,行列式
2、0基矩阵,X1,x2,x3为基变量,x4为非基变量,因为B为基,故有 XB+B-1N XN=B-1b，解得可行解XB=B-1b-B-1NXN，代入目标函数Z，Z=CB B-1b+(CN-CB B-1N)XN 令非基变量XN=0，则有 XT=(XB,XN)T=（B-1b,0)T Z=CB B-1b,设 A=（B,N）（B为一个基，即线性无关向量组R(A)=R(B)）XT=(XB,XN)T（XB 为基变量，XN为非基变量）C=(CB,CN)（CB 为基变量系数，CN为非基变量系数）则有：Z=(CB,CN)(XB,XN)T=CB XB+CN XN AX=（B,N）(XB,XN)T=B XB+N XN
3、=b,1、单纯形法原理：,Z=CB B-1b+(CN-CB B-1N)XN,如果CN-CB B-1N小于0，无论XN取任何大于0值，只会让Z变小，因此我们可以通过CN-CB B-1N来判断Z取得是不是最大值。如果存在一个CN-CB B-1N大于0，则说明Z的值会随着XN增大而增大，说明Z有调整的余地。定理一：若某个基本可行解所对应的检验向量CN-CB B-1N=0,则这个基本可行解就是最优解。定理二：若某个基本可行解所对应的检验向量CN-CB B-1N存在一个检验数=0,则该问题有无数多个最优解。定理三：若某个基本可行解所对应的检验向量Cj-CB B-1Nj大于0，且aij,都小于0，则无解。
4、,为了矩阵形求逆计算方便，一般将B转化为单位矩阵。,将线性规划问题化成标准型。找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj，若所有j0，则问题已得到最优解，停止计算，否则转入下步。在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk0，则此问题是无界解，停止计算，否则转入下步。根据maxjj0=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按规则计算：=minbi/aik|aik0=bl/aik 确定xBl为换出变量。建立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即aik
5、变为1，同列中其它元素为0，转第 步。,2、单纯形法的计算步骤,线性规划的例子,线性规划-标准化,引入变量：s1,s2,s3,提取系数，填入表格：,s.t.,C向量,CB,CN,XB,XN,基B,N,=CB B-1b+(CN-CB B-1N)XN,每个非基变量的检验值,初始单纯形表,初始单纯形表,目标函数系数区,约束条件系数区,右端系数,检验系数区,基变量区,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,0,0,0,0,0,初始单纯形表,50,初始单纯形表,可行解XB=B-1b-B-1NXN=0,初始单纯形表,可行解XB=B-1b-B-1NXN=0,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,x1,50,x1,50,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,初始单纯形表,表格中，检验系数j全部小于或等于0，根据判断规则，Z值为最优值（Z=27500），其解：X1=50,S1=50,X2=250,s2=s3=0为模型的最优解。,
