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1、,第4章 平衡方程的应用,4-1 4-2 物体系的平衡 静定和静不定问题,静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目,超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目,解得:,解：(1)取整体为研究对象,解上述方程，得,(2)取AB为研究对象,代入（3）式得,解：1.取AC段为研究对象。,2.再取BC段为研究对象，受力分析如图。,联立求解，得 FAx=-FBx=FCx=9.2 kN FAy=42.5 kN，FBy=47.5 kN，FCy=2.5 kN,解:(1)取图示BC和圆盘为研究对象,（2）取图示部分为研究对象,解：取AB部分为研究对象,取整体为研究对象,解：(1)取整体为研究对象,解得：,(2)
2、取曲杆CD为研究对象,解得：,解：(1)取BC为研究对象,解得:,(2)取AC为研究对象,解得:,理论力学创新思维训练P91,解：(1)取DE为研究对象,(2)取BC为研究对象,(3)取整体为研究对象,1、本题是否还有其他解法？,2、本题若不要求计算1、2杆之力，试问该如何解决？,3、能否将本题进行些变化？该如何变？需要满足什么条件？,4、教材P85,求：A处的反力。,0.5a,解：(1)取CDE为研究对象,解上述方程，得,(2)取整体为研究对象,解得:,(3)取BEG为研究对象,解得:,代入（3）式得:,解：(1)取整体为研究对象,(2)取DEG杆为研究对象,解得：,(3)取ADB杆为研究对
3、象,解得：,解:(1)取DE部分为研究对象,(2)取整体为研究对象,(2)取BC部分为研究对象,解：(1)取DE杆为研究对象,(2)取BDC杆为研究对象,(3)取整体为研究对象,解得：,解：(1)取BC杆为研究对象,解得：,(2)取AB杆为研究对象,解得：,代入（3）式解得：,(3)取CD杆为研究对象,解得：,解出得 FAx=P FAy=1.5P,另解:(1)取AB为研究对象,(2)取ABC为研究对象,(3)取整体为研究对象,4-3 平面简单桁架的内力计算,桁架的杆件都是直的；杆件用光滑的铰链连接；载荷均作用在节点上；重量平均分配在节点上。,理想桁架,桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的
4、结构，它在受力后几何形状不变。,节点法,截面法,1.以整体为研究对象，求支座约束力。,解方程可得,解：,2.取节点A为研究对象，受力分析如图。,解方程可得,3.取节点C为研究对象。,解方程可得,4.取节点D为研究对象。,1.取桁架整体为研究对象，求桁架的支座约束力。,解：,解方程求得,2.求杆1，2和3的内力。,用截面m-m将三杆截断，选取左段为研究对象。,解方程求得,再以截面mn左面部分为研究对象,解：(1)取整体为研究对象,解得：,(2)取内部三角形为研究对象,(3)取节点A为研究对象,(1)两杆相交，节点无外力作用，则两杆都是零杆;,(2)三杆相交，其中两杆共线，节点无外力作用，则第三杆
5、为零杆。,求4杆的内力,内力为零的杆件：1，2，3，4，7，8，9，16，21,FDE=0,练习已知：等边三角形ABC，其中E、D、G为个边中点。,求：CD杆的内力,思考题,已知：各杆得自重不计。,HAB平行于EFG,OCD垂直于AB,角度 30o,除AB,CD外,各杆得长度均为。求AB杆的内力。,解：选图(a)为隔离体图，求出BC杆的内力FBC 然后再以B为对象，求出FAB。,参考受力图(b)，选 轴与FOB垂直。,1.接触表面的粗糙性,2.分子间的引力,一.关于摩擦现象,摩擦的分类,摩擦的机理,摩擦的利弊,按两物体的相对运动形式分，有滑动摩擦和滚动摩阻。,按两物体间是否有良好的润滑，滑动摩
6、擦又可分为干摩擦和湿摩擦。,4.4 考虑摩擦时的平衡问题,几个有意义的实际问题,几个有意义的实际问题,考虑摩擦时 的平衡问题,几个有意义的实际问题,赛车起跑,为什么赛车运动员起跑前车轮与 地面摩擦生烟？,几个有意义的实际问题,赛车结构,为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？,几个有意义的实际问题,采用什么办法，可以将左边轴的转动传给右边的轴？,几个有意义的实际问题,考虑摩擦时 的平衡问题,工程中的摩擦问题,5-1 滑动摩擦,两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力滑动摩擦力,静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定,1.静滑动摩擦力,静摩擦定律：
7、最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比,2.最大静滑动摩擦力,3.动滑动摩擦力,5-3 摩擦角和自锁现象,1.摩擦角,摩擦角全约束反力与法线间夹角的最大值,摩擦角的正切等于静摩擦系数,2.自锁现象,物块平衡时，0 F Fmax,因此 0,如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持平衡。,（2）非自锁现象,如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。,5-2 考虑摩擦时物体的平衡问题,检验物体是否平衡；,临界平衡问题；,求平衡范围问题。,考虑摩擦的系统平衡问题的特点,1.平衡方程式中除主动、约束力外还出现
8、了摩擦力，因而未知数增多。,2.除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 FsfsFN。,3.除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax=fsFN。,常见的问题有,解：取物块为研究对象，并假定其平衡。,解得,此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为,解：取物块为研究对象，先求其最大值。,解得：,（2）求其最小值。,解得：,例 题 2,已知：P，fs，斜面倾角大于摩擦角。求：平衡时水平力 Q 的大小。,问题1 已知摩擦角=20，F=P，问物块动不动？为什么？,问题2 已知摩擦角均为，问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的，物角应为若干？,练习,解：取推杆为研究对象,考虑平
9、衡的临界情况，可得补充方程,用几何法求解例4,解:由图示几何关系得,解:(1)取销钉B为研究对象,FBA=2Q,(2)取物块A为研究对象,处于滑动的临界平衡状态时,处于翻倒的临界平衡状态时,P,解:(1)若P力小，圆柱有下滑的趋势。以圆柱为研究对象，由平衡方程得：,再以OA板为研究对象，受力如图，由平衡方程得：,(2)若P较大，圆柱有向上滑得趋势。再计算得过程中摩擦力改变方向，然后由前面得分析一样可得：,则平衡时P值得范围是：,即,结论与讨论,思考题1：已知如图，B处存在摩擦。就（a）、（b）分别回答下述问题：,(1)能否确定B处的法向反力？,(2)能否确定B处的摩擦力？,(3)问题是静定，还
10、是静不定的？,思考题2：均质杆重P，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的水平力F，试求使杆处于平衡时的Fmax.设杆的高度忽略不计。,思考题3：重量均为P的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为 fs，一水平力F 作用于A球，试求系统平衡时 Fmax。,O,dF=dFSdFN=FddFS=fsdFN,dF=Ffsd,为维持皮带平衡，应有,思考题4 皮带（或绳索）绕在半径为R的圆柱上，其包角为，摩擦系数为fs，其两端的拉力为F1及F2，求平衡时F1与F2的关系。,接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且知F2=1kN，求绳平衡时
11、F1的范围，绳与圆柱间的摩擦系数为fs=0.5。,解:将数据代入 上题公式,F2=1kN,fs=0.5,=4,如果允许 F1 F2，将数据代入,故：,5-3 滚动摩阻的概念,保证滚子不滑动：,保证滚子不滚动：,解：以轮为研究对象,(1)滚动时,(2)滑动时,F1=Fmax=f FNC,F=f P=0.620001200 N,结论与讨论,2.物体系平衡问题的解答需注意选择研究对象，宜先求出一个未知量。可以整体考虑；也可以从某一构件开始，依次分析。总之，应尽量避免解联立方程，力求简易。,本章研究平衡方程的应用。首先分清静定与静不定问题，接着解决物体系的平衡，桁架及摩擦。,1.静定或静不定问题是根据
12、独立的平衡方程数目等于或少于未知量的数目而定。,3.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：,节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于2个。,截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于3。,(1).摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两类。,(2).滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前者自然称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。,（a）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小应根据平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与最大值之间，即,4.考虑摩擦时的物体平衡问题,静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比,（b）动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，它的大小为,(3).摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有,当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生自锁现象。,(4).物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用。,
