南邮概率论习题册答案.ppt

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1、1,第一章概率论的基本概念,1.写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。,(2)将a,b两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子中球的个数。A表示“甲盒中至少有一个球”,(1)将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。A表示“点数之和小于6”，B表示事件“两次出现的点数之和为7”。,（4）测量一辆汽车通过给定点的速度。A表示“汽车速度在60至80之间”(单位：公里/小时),练习一,(3)记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数。A表示“南京市110在一小时内收到的呼叫次数在6至10间”。,2.设A、B、C 为三个事件试用A、B、C 表示下列事件,(2)A，B，C 都不发生,(1)A

2、与B 不发生，而C 发生,(3)A、B、C 至少有一个发生,(4)A、B、C中恰有一个发生,(6)A、B、C 中至多有两个发生,(5)A、B、C 中恰有两个发生,(7)A、B、C 中至少有两个发生,2,3,3.设A、B、C为三个事件,且，求A，B，C都不发生的概率。,由 知,4,(2)A、B互不相容,4.设A、B是两个事件且，试在三种情况下求,(3)A、B有包含关系,5,5.设A、B、C是三个事件 求，。,6,解：以A表示事件“指定的3本书放在一起”,练习二,1.把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率。,10本书任意放置的情况共有,3个作整体放置的情况共,3本书的排列

3、共有,6,以A表示事件“指定的3本书放在一起”,以事件A表示“指定的3本书放在一起”,把事件“指定的3本书放在一起”表示为A,把“指定的3本书放在一起”表示为事件A,7,2.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录企纪念章的号码。,(1)求最小号码为5的概率,解：以A表示事件“最小号码为5”,(2)求最大号码为5的概率,解：以B表示事件“最大号码为5”,8,3.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？,解：以A表示事

4、件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”,9,4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。,(1)两只都是正品,解：以A表示事件“两只都是正品”,(4)第二次取出的是次品,解：以C表示事件“一只是正品，一只是次品”,(2)两只都是次品,(3)一只是正品，一只是次品；,解：以B表示事件“两只都是次品”,解：以D表示事件“第二次取出的是次品”,10,解：以A表示事件“该方程有重根”。,5.考虑一元二次方程，其中B,C分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程有重根的概率。,样本空间S中共有36个元素满足判别式的样本点只有(2,1)和(4,

5、4),11,练习三,1.(1)已知 求。,解：,(2)已知 求。,解：,12,2.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概率为0.001。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。,解：以A表示事件“确实患肺结核”，以B表示事件“通过透视被确诊”。,13,3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则,(1)此人是色盲患者的概率,解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所取为男子”。,(2)若

6、此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？,解：,14,4.有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求,(1)第一次取到的零件是一等品的概率,(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。,解：以 表示事件“第i次从零件中取到一等品”,以 表示事件“取到第i箱”,15,解：,5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏2%，(这一事件记为)，损坏10%(事件)，损坏90%（事件）。且知 现在从已被运输的物品中随机地取3

7、件，发现这3件都是好的(这一事件记为B)。试求条件概率（这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）,16,练习四,1.口袋里装有a+b枚硬币，其中b枚硬币是废品(两面都是国徽)。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛掷n次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。,解：以A表示事件“n次出现都是国徽”，B表示事件“取到废品”,17,证明：,2.设 且。证明A与B相互独立。,18,3.设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格品不能出厂。现在该厂生产了n(n2)台仪器，求所

8、有仪器都能出厂的概率。,解：以Ai表示事件“第i件仪器能出厂”，以B表示事件“第i件仪器需要进一步调试”，以C表示事件：“所有仪器都能出厂”,18,4.设有4个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为p。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。,解：以A表示事件“系统的可靠性”,1,第二章 随机变量及其分布,1.一个袋内装有6个红球和4个白球，从中任取3个，设X为取到的红球的个数，求X的分布律。,解：X的可能取值为：,练习一,2,2.进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 p（0p1），失败的概率为q=1-p。,(1)将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布

9、律。,解：X的可能取值为：,(2)将试验进行到出现r次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。,解：Y 的可能取值为：,6,解：以X表示同一时刻使用的供水设备的台数。,3.一大楼装有5个同类型的共水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻,(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？,(2)至多有3个设备被使用的概率是多少?,(3)至少有1个设备被使用的概率是多少？,7,求(1)每小时恰有5次呼叫的概率；,解：以X表示每小时内的呼叫次数,(2)一小时内呼叫不超过5次的概率,4.设南京市110每小时接到的呼叫次数服从参数 的泊松分布。,8,解：,5.从学校乘汽车

10、到火车站需要通过三个均设有信号灯的路口，每个信号灯之间是相互独立的，且红绿两种信号显示的时间分别为，以X表示汽车首次停车时已通过的路口个数，求X的分布律及分布函数。,6,练习二,1.设随机变量X的分布函数为 求随机变量X的概率分布律。,解：X的取值为：,7,(1)求概率,2.设连续型随机变量X的分布函数为,(2)求概率,(3)求概率,(4)求随机变量X的概率密度,其它,8,3.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离(单位：米)X的概率密度为如果弹着点到目标的距离小于50米时，即可以摧毁目标。现在向这一目标连发两枚炮弹，求目标被摧毁的概率。,解：以Y 表示炮弹摧毁目标的次数。,那么,9,4.设

11、随机变量X在2,5上服从均匀分布，现在对X进行独立观测，试求至少有一次观测值大于3的概率。,解：以Y 表示观测值大于3的次数，X的概率密度函数为,其它,9,5.设某类日光灯管的使用寿命X服从参数 的指数分布(单位：小时),(1)任取一根灯管，求能正常使用3000小时以上的概率,其它,解：X 的概率密度函数和分布函数分别为,其它,(2)有一根这种灯管，已经正常使用了1000小时，求还能使用2000小时以上的概率。,17,练习三,1.设随机变量，则,(1)求,(2)确定c使得,显然，c=3,(3)设 d 满足，问 d 至多为多少？,17,试求:(1)该电子元件损坏的概率,2.在电源电压低于200伏

12、、正常电压200240伏和高于240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01和0.1。假设电源电压服从正态分布N(220,252),(2)该电子元件损坏时，电源电压在正常电压200240伏的概率,解：以A表示事件“电子元件损坏”，Bi(i=1,2,3)分别表示电压低于200伏，200240和高于240伏三种情况。,17,解：设X表示学生成绩。XN(72,2)。,3.假设考生的数学成绩服从正态分布，已知平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率。已知,17,4.设随机变量X的概率分布律为,求随机变量Y=X2的概率分布律。

13、,17,5.设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量Y=eX的概率密度。,其它,其他,解：X 的概率密度函数为,17,6.设随机变量XN(0,1)，求随机变量Y=|X|的概率密度。,解：显然,左右关于y求导：,已知,17,解：,1,第三章 多维随机变量及其分布,1.设某口袋装有2只黑球，2只白球和3只蓝球。在该口袋中任取2只球。记X为取到黑球的只数，Y为取到白球的只数。,(1).求随机变量(X,Y)的概率分布律,(2).求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,(3).求概率PX+Y2,2,2.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,解：已知,(1)求常数a,(2)求概率PX2Y

14、,其它,解：,6,3.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,其它,其它,求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,其它,其它,7,(1)确定常数c,解：,4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度,(2)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,其它,其它,6,练习二,1.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,且随机变量X与Y相互独立，求p与q的值。,8,2.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,(2)判断随机变量X和Y是否相互独立。,其它,解：,其它,(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,显然,不独立,8,3.设随机变量Y 服从参数为1的

15、指数分布，令,(1)求二维随机变量(X1,X2)的联合概率分布律,(2)判断随机变量X1与X2是否相互独立,显然，不独立。,9,4.设X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y服从参数 的指数分布。,(1)求随机变量X 和Y 的联合概率密度f(x,y);,其它,其它,由独立：,其它,(2)设含有a的二次方程 试求a有实根的概率。,17,练习三,1.设X和Y是相互独立的随机变量，且X和Y 的概率密度分别为,求随机变量Z=X+Y的概率密度。,其它,其它,解：,其它,其它,17,2.设X和Y是相互独立的随机变量，且都在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。,其它

16、,其它,解：X和Y的概率密度函数分别为,其它,其它,3,3.设 是相互独立的随机变量，证明：,显然，,所以,17,4.设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布，试验证随机变量 的概率密度为,其它,我们称Z服从参数为 的瑞利分布,证明：由X和Y独立,令,其它,17,5.设随机变量(X,Y)的概率密度为,其它,(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度,其它,其它,(2)判断随机变量X和Y是否相互独立？,显然，独立。,17,(3)求随机变量U=maxX,Y的分布函数。,1,第四章 随机变量的数字特征,1.设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个随

17、机变量其概率密度为,其它,试求随机变量X的数学期望E(X)。,解：,2,解：,3.设随机变量X的概率密度为,(1)求随机变量X的数学期望,(2)求随机变量Y2X的数学期望,(3)求随机变量Ze5X的数学期望,3,4.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,其它,试求,解：,4,解：,5.设随机变量X1，X2的概率密度分别为,(1)求,(2)又设X1，X2相互独立，求,解：,5,练习二,1.设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为0.1,0.2,0.3。假设各个元件是否需要调整是相互独立，以X表示同时需要调整的元件数，试求X的数学期望和方差。,解：以Xi表示第i个

18、元件的调整情况，i=1,2,3,6,2.设乒乓球队A与B比赛，如果有一个队胜3场，则比赛结束。已知A队在比赛中获胜的概率为0.5，试求比赛场数X的数学期望。,解：随机变量X的可能取值为3,4,5。,7,(1)写出随机变量(X,Y)的概率密度函数。,3.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 内服从均匀分布。,其它,解：积分区域的面积为1,(2)求随机变量Z2XY的数学期望及方差。,8,解：,9,(1)求随机变量Z=2X+Y的分布；,令,5.设随机变量X,Y相互独立，,解：,(2)求概率,(3)求概率,令,10,练习三,1.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：,试证明：X和Y是不相关的，

19、但X与Y不是相互独立的。,故X,Y不相关，而且不独立。,11,2.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 内服从均匀分布，计算。,其它,解：(X,Y)的概率密度函数为,12,解：,3.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，求 与 的相关系数。,13,4.设连续型随即变量X的概率密度为,(1)问X与|X|是否相关？为什么？,解：,显然不相关。,(2)问X与|X|是否独立？为什么？,不独立,14,5.已知，试求,(1)协方差,(3)互协方差,(2)相关系数,1,第五章 大数定理与中心极限定理,1.设，则由契比雪夫不等式有,解：,2.设 相互独立且均服从参数 的泊松分布，试证明：当n趋向于无穷大时，依概

20、率收敛于12。,由辛钦大数定律,2,证明：当n充分大时，近似服从正态分布，并指出其分布参数。,解：,3.设 相互独立且同分布，已知,3,4.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少。,解：设随机变量,X服从(0-1)分布且,令,4,解：设X表示随机变量，则舍入误差XU(-0.5,0.5),5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。,(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少,解：设最多可以有n个数相加使得误差总和

21、绝对值小于10,(2)最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？,解之得：,1,第六章样本及抽样分布,解：,1.自总体X抽得一个容量为5的样本为8,2,5,3,7，求样本均值 和样本方差 及经验分布函数。,练习一,2,解：,2.在总体 中随机地取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多少？,3,(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。,3.在总体XN(12,4)中随机地抽一容量为5的样本,解：令,(2)求概率,解：,(3)求概率,解：令,1,2.设 是取自具有 分布的总体的样本，与 分别为样本均值与样本方差求,解：设总体为X,1

22、,解：,1.设 是取自正态总体 的简单随机样本，求概率。,练习二,解：设总体为X,2.设 是取自参数为 的泊松总体 的一个简单随机样本，与 分别为样本均值与样本方差求,1,3.(1)设 是来自正态总体XN(0,2)的一个简单随机样本，试给出常数c使得 服从 分布，并指出它的自由度。,解：c=1/4，自由度为2。,解：,自由度为3。,(2设 是来自正态总体XN(0,1)的一个简单随机样本，试给出常数 d 使得 服从 t 分布，并指出它的自由度。,1,(1)求，其中 为样本方差。,(2)求,解：由,解：,4.设在总体 中抽取一容量为16的样本，这里 均为未知。,01,1.随机地取8只活塞环，测得它

23、们的直径为(以mm计),试求总体均值 及方差 的矩估计值，并求样本方差。,解：,第七章 参数估计 练习一,02,2.设总体X 的密度函数为,(1)矩估计量,且 是来自总体X的一个简单随机样本，为相应的样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计量。(其中c已知且),解:,解之得：,将 代入,03,(2)最大似然估计量,解:,最大似然函数为：,求对数,求导数,解之得，最大似然估计值为,最大似然估计量为,04,3.已知总体X 的分布律为,解之得：,将 代入得矩估计量,p为未知参数。,且 是来自总体X的一个简单随机样本，为相应的样本值，求参数p的矩估计量和最大似然估计量。,(1)矩估计量,解:,05,求

24、导数,求对数,最大似然函数,最大似然估计量为,(2)最大似然估计量,解:,最大似然估计值为,06,4.设总体X具有分布律,(1)矩估计值,解之得:,其中 为未知参数，已知取得了样本值,故矩估计值为,试求参数 的矩估计值和最大似然估计值。,即矩估计量,又矩估计值,07,(1)最大似然估计值,最大似然函数为,最大似然估计值为,08,5.设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从双参数的指数分布，其概率密度为,(1)求c与 的最大似然估计,最大似然函数为,其中，为未知参数，自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为,求对数,09,求导数,由最大似然原则知,最大似然估计值为,最大似然

25、估计量为,10,(2)求c与 的矩估计,解之得,将 代入,即,11,1.验证第六章第二节中定理四中的统计量,解：,是两总体公共方差 的无偏估计量(称为 的合并估计)。,是两总体公共方差 的无偏估计量。,练习二,12,是 的无偏估计量。,解：,2.设总体X的数学期望为 是来自总体X的简单随机样本。是任意常数，验证,无偏估计量得证。,13,解之得,解：,3.设 是来自总体 X 的简单随机样本，且设，试确定常数c，使 是 的无偏估计量。是样本均值和样本方差。,14,(1)指出 中哪几个是 的无偏估计量。,4.设 是来自均值为 的指数分布总体X的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量,15,(2)

26、在上述 的无偏估计量中指出哪一个更有效。,4.设 是来自均值为 的指数分布总体X的简单随机样本。其中 为未知参数。设有估计量,显然，,则 更有效。,17,是来自总体X的简单随机样本。,5.设总体X的密度函数为,(1)求参数 的最大似然估计。,最大似然函数为,设 是来自总体X的简单随机样本值。,最大似然估计值为,最大似然估计量为,17,(2)问最大似然估计量是否是无偏的。,最大似然估计量为,最大似然估计量是无偏的。,(3)问最大似然估计量是否是 的相合的估计量。,由辛钦大数定律知是相合的。,01,1.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为,设干燥时间总体服从正态分布。,(1)若已知(小时

27、)。,练习三,求 的置信水平为0.95的置信区间。,求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。,置信区间为,这里,这里,单侧置信上限为,02,1.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为,设干燥时间总体服从正态分布。,(2)若 未知。,求 的置信水平为0.95的置信区间。,求 的置信水平为0.95的单侧置信上限。,置信区间为,这里,这里,单侧置信上限为,02,置信区间为,这里,2.使用金球测定引力常数(单位：)的观察值为,设测定值总体为 均为未知。求 的置信水平为0.90的置信区间。,02,置信区间为,解：这里,3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的

28、标准差为，取样本容量为。得燃烧率的样本均值分别为和，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差 的置信水平为0.99的置信区间。,02,单侧置信上限为,置信区间为,4.设两位化验员 A,B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为。设 分别为A,B所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态分布，且两样本独立。,(1)求方差比 的置信水平为0.95的置信区间。,(2)求方差比 的置信水平为0.95的单侧置信上限。,02,单侧置信下限为,5.随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻(欧)为,这里,A批导线：,B批导线：,设测定数据分别来自分布，且两样本

29、相互独立。又 均为未知，试求均值差 的置信水平为0.95的单侧置信下限。,1,统计量,1.某批矿砂的8个样品的镍含量，经测定为,解：根据题意，提出假设,设测定值总体服从正态分布，已知，问在显著性水平 下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。,拒绝域,样本计算值,不在拒绝域内，故接受原假设，认为均值为3.25.,2,统计量,解：根据题意，即需检验假设,拒绝域,样本计算值,在拒绝域内，故拒绝原假设，判定平均寿命小于1000小时。,3.要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机地抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时已知该种元件寿命服从标准差为 小时的正态

30、分布，总体均值 未知，试在显著性水平 下，判定这批元件的寿命是否大于或等于1000？,3,统计量,解：根据题意，即需检验假设,拒绝域,样本计算值为,不在拒绝域内，接受原假设，认为可看作一样。,3.从某锌矿的东、西两支脉矿中各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：,东支,西支,若东西两支脉矿得含锌量都服从正态分布且方差相等，问两支矿含锌量的平均值是否可以看作一样。,4,解：根据题意,拒绝域,样本计算值,在拒绝域内，拒绝原假设，认为均值差大于2。,4.在20世纪70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了20世纪8

31、0年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出在新老两种过程中形成的NDMA含量,老过程,新过程,统计量,设两样本分别来自正态分布，且两总体的方差相等，但参数未知。两样本独立，分别以 记对应于老新过程的总体的均值，试在显著性水平 下检验假设,5,解：根据题意，提出假设,拒绝域,样本计算值,统计量,1.某种导线，要求其电阻的方差不得超过。今在生产的一批导线中取样品9根，测得。总体为正态分布，参数均未知。问在显著性水平 下能否认为这批导线的方差为。,或,不在拒绝域内，接受原假设，认为方差为。,6,解：根据题意,拒绝域,样本计算值为,统计量,不在拒绝域内，接受原假设。,2.有两台机器生产金属部件。分

32、别在两台机器所生产的部件中各取一容量为 的样本，测得部件重量的样本方差分别为。设两样本相互独立。两总体分别服从正态分布 均未知且两样本独立。试在显著性水平 下检验假设。,7,拒绝域,样本计算值为,统计量,显然不在拒绝域内，接受原假设。,3.测得两批电子器件得样品的电阻为,A批(x),B批(y),设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布,均未知，且两样本独立。,试在显著性水平 下检验假设,8,拒绝域,样本计算值为,统计量,显然不在拒绝域内，接受原假设。,3.测得两批电子器件得样品的电阻为,A批(x),B批(y),设这两批器件的电阻值总体分别服从正态分布,均未知，且两样本独立。,试在显著性水平 下检验假设,