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1、3.5 机器人常用坐标系及变换方程,3.6 RPY角和欧拉角(一)RPY角 RPY角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。将船的行驶方向取为Z轴，则绕Z轴的旋转(角)称为滚动(Roll)；把绕Y轴的旋转(角)称为俯仰(Pitch)；而把垂直方向取为X轴，将绕X轴的旋转(角)称为偏转(Yaw)，如右图1-9所示。操作臂手爪姿态的规定方法类似(如图1-10)，故习惯上称为RPY角方法。,1-9 滚动、俯仰、偏转,1-10 机器人手的滚动、俯仰、偏转,这种描述活动坐标系方位的法则如下：活动系的初始方位与固定坐标系重合，首先将活动系绕固定坐标系的X轴旋转角，再绕固定坐标系的Y轴转角，最后绕固定坐标系的
2、Z轴转角，如图1-11所示。因为三次旋转都是相对于固定坐标系的，所以得相应的旋转矩阵：,1-11 RPY角,其中：,将矩阵相乘得：,它表示绕固定坐标系的三个轴依次旋转得到的旋转矩阵，因此称为绕固定轴X-Y-Z旋转的RPY角法。,.(11),现在来讨论逆问题：从给定的旋转矩阵求出等价的绕固定轴X-Y-Z的转角、。,令：,式中有3个未知数，共9个方程，其中6个方程不独立因此可以利用其中的3个方程解出未知数。,.(12),由式(11)、(12)可以看出：,如果cos 0，则得到各个角的反正切表达式:,式中，Atan(y，x)是双变量反正切函数。式(13)中的根式一般有两个解，我们总是取-900 90
3、0中的一个解。,.(13),(二)欧拉角1绕运动系X-Y-Z转动的欧拉角 这种坐标系运动的描述如下：运动坐标系的初始方位与参考系相同，首先使运动系绕Z轴转角，然后绕运动系的Y轴转角，最后绕运动系的X轴转角，如图1-12所示。这种描述法中的各次转动都是相对于运动坐标系的某轴进行的，而不是相对于固定的参考系。这样的三次转动角称为欧拉角。因此可以得出欧拉变换矩阵,1-12 绕Z-Y-X转动的欧拉角,欧拉变换矩阵：,其中：,将矩阵相乘得：,这一结果与绕固定轴X-Y-Z旋转的结果完全相同。这是因为绕固定轴旋转的顺序与绕运动轴旋转的顺序相反，且旋转的角度也对应相等时，所得到的变换矩阵是相同的。因此，用Z-
4、Y-X欧拉角与固定轴X-Y-Z转角描述运动坐标系是完全等价的。,2绕Z-Y-Z转动的欧拉角 这种坐标系运动的描述如下：最初，坐标系与参考坐标系重合。首先使运动系绕Z轴转动 角，然后绕运动系的Y轴转角，最后绕运动系的Z轴转角，如图3-9所示。,绕Z-Y-Z转动的欧拉角,可以求得：,同样，求Z-Y-Z欧拉角的逆解方法如下：,如果sin 0，则:,令：,(1)Zi坐标轴是沿着i+1关节的运动轴。(2)Xi轴是沿着Zi 和Zi-1的公垂线，指向离开Zi-1 轴的方向。(3)Yi轴的方向按构成Xi Yi Zi右手直角坐标系来建立。(4)公垂线长度ai是Zi-1 和Zi两轴间的最小距离，一段称ai 为连杆
5、长度。(5)两公垂线ai-1和ai 之间的距离称为连杆距离di。(6)Xi-1轴与Xi之间的夹角为i，以绕Zi-1轴右旋为正，一般称为连杆的夹角。(7)Zi-1轴与Zi之间的夹角为i，以绕 Xi轴右旋为正，i称为扭转角。,转动连杆参数,3.7 机器人连杆参数及其DH坐标变换,若两杆以移动副连接，则连杆构件坐标系的建立及参数的规定如图2-2所示。图中各符号所表示的意义仍与图2-1相同。由于对于移动副来说，连杆长度ai 已经没有意义，故令其为零，形成的构件坐标系见图2-2。,移动连杆参数,由图2-1和图2-2可知，四个参数ai，di，i，i完全确定了连杆i-1和连杆i之间的相对关系，一般ai，i
6、为常量，由连杆i的形状确定。对于转动关节，di 是常量，i为变量；对于移动关节i是常量，di 是变量。根据上述模式，我们给所有连杆赋予坐标系，并且可以建立i-1和i坐标系之间的变换关系。应当说明的是，尽管Zi轴通过关节i+1的轴线，但坐标系Xi Yi Zi 是固定在连杆i上的，随连杆i运动而一起运动。,1旋转连杆坐标系及其D-H坐标变换,2移动连杆坐标系及其连杆的D-H坐标变换,第三节 建立机器人机构运动学方程的实例 根据上节所述方法，首先建立机器人各杆件的构件坐标系，从而得出齐次变换矩阵Ti。一个T矩阵仅能描述连杆坐标系之间相对平移和旋转的一次齐次变换。T1描述第一个连杆相对于某个坐标系(如
7、机身)的位姿，T2描述第二个连杆(构件)坐标系相对于第一个连杆(构件)坐标系的位姿。,若有一个六连杆机器人，机器人手的末端(即连杆坐标系6)相对于固定坐标系的变换可表示为,一个六连杆机器人有六个自由度(每个连杆有一个自由度)。机器人最后一个构件(手部)有三个自由度用来确定其位置，三个自由度用来确定其方向。对如图2-3所示的一个机器人手部，我们可以把描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手指的中点，用一个向量p描述这个原点。用三个向量n、o、a描述机器人的姿态。,图 2-3 手抓坐标系,当手部处于初始位置和姿态时，向量Z指向手接近物体的方向。其单位向量a称为接近向量。向量Y的单位向量o称为方位向量
8、。最后一个单位向量称为正交向量n。上述向量构成右手矢量积，它们用向量的矢量积来表示：n=o x a 这样，变换T60可用下列矩阵表示:,根据前面两式即可建立机器人的位姿方程。坐标变换图如图2-4所示。,图 2-4 机器人手的坐标变换图,下面给出两个机器人手运动方程的求解实例 例1 PUMA560六自由度机械手由转动坐标臂(RRR)和欧拉腕组成，其结构示意图参看图2-5。关节变量为1,2,6，若己知PUMA560六自由度机械手1900,200,3900,400，500，600，a2431.8mm,d2149.09mm，d4433.07mm，d656.25mm。求Ti(il，2，3，4，5，6)及
9、T60的表达式及当i取给定值时末杆的位姿。,图 2-5 PUMA-560机械手坐标系,解(1)设定机器人各杆的坐标系 按DH坐标系建立各杆的坐标系如图2-5所示。将o0z0设置在关节1的转轴上，o0和o1重合；o1z1 o2z2分别沿关节2、3的转轴，o1z1 o2z2。z3与z2轴的交点为o3；o2和o3重合，d30,o3x3y3z3并非置于臂的终端。o3z3是腕的第一个转轴。z4与z3的交点为o4，设在臀的终端，是腕结构的中心，o4z4是腕的第二个转轴；z5与z4的交点为o5。o4和o5重合，o5z5是腕的第三个转轴。o6x6y6z6为终端坐标系，该坐标系考虑了工具长度d6。y6、x6、z
10、6的单位向量分别记为n、o、a。,(2)确定连杆的D-H参数和关节变量,(3)求两杆间的位姿矩阵Ai 根据表2-1所示的D-H参数和公式(1)可求得Ai,其中：,(4)求末杆位姿矩阵,令：,可得,式中：,.(5),根据式(3)和式(4)可得：,式中：,.(6),若令1900,200,3900,400 500 600，并将有关常量代入T6矩阵，则有：,例2 斯坦福机器人的结构示意图如图2-6，它由球面坐标臂(RRP)和欧拉腕组成。求Ai(i=1，2，3，4，5，6)及T6的表达式。,解(1)设定机器人各杆的坐标系 按DH坐标系建立各杆的坐标系如图2-6所示。图中z0轴沿关节1的轴，zi轴沿关节(
11、i+1)的轴,令所有xi轴与机座坐标系x0轴平行，y轴按右手坐标系确定。原点 o0和o1重合，o3、o4、o5、o6重合。,(2)确定连杆的D-H参数和关节变量 连杆的D-H参数见表2-2,表2-2 斯坦福机器人的D-H参数,(3)求两杆间的位姿矩阵Ai 根据表2-2所示的D-H参数和公式(1)可求得Ai,其中：,(4)求机器人的运动学方程,其中：,第四节 机器人位移分析的逆问题 前面介绍了如何建立机器人的运动学方程。对于具有n个自由度的操作臂而言，其运动学方程可以写成：,方程左边表示末端连杆相对于参考坐标系的位姿。根据机器人各个关节变量qi(i1，2，n)的值，便可计算出机器人末端的位姿方程
12、，称为机械手的运动分析，或正向运动学；反之，为了使机器人所握工具相对参考系的位姿满足给定的要求，计算相应的关节变量，这一过程称为运动学逆解。,从工程应用的角度而言，运动学逆解往往更重要，它是机器人运动规划和轨迹控制的基础。正向运动学的解是唯一确定的，即各个关节变量给定之后，手臀末端的手爪或工具的位姿是唯一确定的；然而运动学逆解往往具有多重解，也可能不存在解。此外，对于运动学逆解而言，仅仅用某种方法求解是不够的，对于各种计算方法的计算效率、计算精度均有较多要求。下面以PUMA机器人为例来探讨机器人的运动学逆解。,例3 求例1中PUMA560机械人的运动学逆解,解 PUMA机械人的运动学方程(6)
13、可以写成,在矩阵方程(7)中，左边的矩阵元素nx,pz是已知的，而右边的六个矩阵是未知的，它们依赖于关节变量1,6。,.(7),(1)求解1、3 用逆矩阵 左乘矩阵方程(7):,于是有:,可由式(5)求出。令上式两边的(2,4)元素相等，可得：,令:,其中:,.(8),.(9),把式(9)代入(8)，可得:,于是可以解出1：,式中，正号和负号分别对应于1的两种可能解。,我们再令矩阵两边的(1，4)元素、(3，4)元素分别相等，得以下方程：,.(10),由式(10)与式(8)的平方和，得：,式中：,.(11),方程(11)中消除了1，式(11)和式(8)形式相同，因此可用三角代换求出3,(2)求
14、解2、4 将左式左乘 可得:,式中，T63由式 给出。令上式两边矩阵的(1，4)和(2，4)元素分别相等，得到：,.(12),由式(13)和式(14)求得：,.(14),.(13),由于c23和s23表达式的分母相等且为正，故有：,.(15),根据3、1解的四种可能组合，由式(15)可以算出23 的四个值，于是得到2的四个可能解：,因为矩阵方程(12)左边为已知，令等式两边的(1，3)元素和(3，3)元素分别相等，便可得：,只要s5 0，我们可以求得4：,(3)求解5 4解出后，将左式继续左乘 可得:,式(16)的左边，因1 2 3 4中均已解出，从而有下式：,.(16),.(17),使式(1
15、7)两边的(1,3)元素和(3,3)元素相等，得出：,又因为：,因而可得：,(4)求解6 继续用以上方法求解6,使方程两边的（3，1）元素和（1，1）相等，得到方程,从而得到6,注意：PUMA-560机器人的运动学逆解可能存在4个解。这是因为在求解1 3时出现正负号，故可能得到4个解。下图给出了这4种解的对应形态。,第五节 机器人的微分运动和微分变换 在机器人的操作与控制中，由于种种原因机器人末端操作器的位姿与目的物之间会产生位姿误差。为了补偿这一位姿误差，要求末端操作器产生一微小运动。此外，机器人操作时，有时会碰到两个不同坐标系之间的微位移关系问题，例如用摄像机时，摄像机安装在某杆上，摄像机
16、摄到的微位移是用固结于摄像机的坐标系来描述的。要求补偿的末端操作器的微位移是用基础坐标系来描述的，末端操作器的微位移又是通过关节空间的各关节的微运动来实现的，这就存在不同坐标系之间微位移的关系问题。,一、变换的微分 假设有一个变换，它的元素是某个变量的函数，对于这个变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换阵乘以该变量的微分。给定变换T为,它的元素是某个变量x的函数，则变换T的微分为:,二、微移动微平动和微转动 所谓微运动指的是无限小的运动，即无限小移动和无限小转动。它既可以用给定的当前坐标系矩阵T来描述，也可以用基础坐标系来描述。已知坐标系矩阵T，微分运动后变为T+dT。应用
17、相对于基础坐标系的左乘法则，T+dT可表示为：,式中，是用基础坐标系描述的微移动dx，dy，dz的移动变换。是用基础坐标系描述的绕k轴微旋转d的旋转运动变换。由上式得:,I为4X4的单位矩阵,代表一个微分平移和微分旋转的变换。,微分移动的齐次变换矩阵为：,微分旋转的齐次变换矩阵为：,绕k轴旋转d 等价于分别绕三个轴X，Y，Z轴旋转x,y,z。令kx d=x，ky d=y,kz d=z 并代入上式可得：,1,例 假设有一个坐标系A为：,相对于基础坐标系的微分平移为，微分旋转为，试求与d和相应的A的微分变换。,解 首先构造微分平移和旋转变换,三、两直角坐标系间的微分移动的关系微分变换 前面讨论了用
18、基准坐标系和当前T坐标系描述的微分运动，分别为 和，不同坐标系的微分运动 和 的关系为：所以有：,这个变换方程如同前面变换方程一样，可以用一个变换图来表示，如右图所示。由图也可以直接得到上式。方程2很重要，因为它把相对于不同的坐标系之间的微分变化联系起来了。我们首先展开方程右端的矩阵乘积，展开过程中进行了简化，可得出微分变化向量d和的元素之间的直接关系。变换T称为微分坐标变换。,2,如果把微分坐标变化T的元素用向量n、o、a和P描述为,式中，d和就是微分旋转和微分平移。将上式左乘 可得,由于n、o、a正交，所以,3,4,由式1定义为：,令式3和式4相等，我们就利用相对基础坐标系来描述的微分旋转
19、和平移的向量(和d)，得到相对于坐标系T来描述的微分旋转和平移的向量，即,6,5,例：假定有与前例相同的坐标系以及微分平移和微分旋转,试求坐标系A中等价的微分平移和微分旋转。,解 用,首先形成,然后加上d,利用式5和6，计算,利用式4，根据 构成,三、机器人的雅各比矩阵 对机器人来讲，T6在位置和方向上的微分变化，是由关节坐标中的微分变化dqi引起的。我们定义一个微分变化的变换i，如果关节i是旋转关节，i 就表示绕z轴的一个单位微分旋转；如果该关节是移动关节，i则表示沿z轴的一个微分平移。在这两种情况中，微分变化的变换对于关节i-1的坐标也适用，记为i,j-1,我们可以利用T6 坐标中的微分变化i,T6 以及任意关节坐标i的微分变换来写出一个微分变化d T6 的关系式，即,T6在位置和方向上的微分变化，作为六个关节坐标的函数可以写成一个6x6的矩阵。雅各比矩阵的每一列对应于每个关节坐标的微分变化，即由微分平移和微分旋转矢量的变化所组成。,
