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1、第一章 行列式填空题1. ,该排列是排列。2. ,该排列是排列。3在四阶行列式中，包含的项为，且该对应项的符号为。4设，则。（用表示）5设，则。（用表示）6 设，则，。（用行列式表示）7. 。8. 。9. 若的代数余子式，则代数余子式。10. 已知，则，。11.设，则 ， 。12。13。14. 。15. 。16. 。17. 已知齐次线性方程组有非零解，则 或。线性代数第二章试题一选择题1.设为阶可逆方阵，下式恒正确的是（ B ） 2.设为三阶方阵且，则（ ）-108-12 12 1083.设为四阶矩阵，且，则（ ）2 4 8 124.设为阶非零矩阵，为同阶单位矩阵，若，则。 不可逆，不可逆。
2、不可逆，可逆。 可逆，可逆。 可逆，不可逆。5若方阵与方阵等价，则（） 存在可逆矩阵，使得P-1AP=B6.设为阶方阵，若，则必有（ ） 7.设为矩阵，若秩，则秩（ ）2 3 4 58. 设矩阵的秩为，则中（ ） 所有阶子式都不为0所有阶子式全为0 至少有一个阶子式不等于0所有阶子式都不为09. 设阶方阵不可逆，则必有（ ） 方程组只有零解10. 设，则关系式（） 的矩阵表示形式是 二填空题1，（为3阶单位矩阵），则_。2.设, 则=_。3已知，且，则=_。4设，为的伴随矩阵，则_。5已知，则_。6. 设，则 。7. 已知，则 。8. 若，则 。9. 设，其中均为可逆方阵，则 。10. 设均为
3、2阶方阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 。第三章1. 判断下述向量组的线性相关性：（1），是线性 .（2），是线性 .2. 设，则将向量表示成的线性组合，为 .3. 设，则当 时，线性无关.4. 设向量组线性无关，则必满足关系式 5. 已知向量组线性无关，则（1）向量组线性 （2）向量组线性 6. 设维向量线性相关，则向量组的秩 .7. 设线性无关，而线性相关，则向量组 的极大无关组为.8. 已知向量组的秩为2，则 9. 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的秩为 .10. 矩阵列向量组的一个最大无关组是 ，秩为 .11. 设向量组能由向量组线性表示，则与一定满足 .
4、12. 设是的矩阵，则 .13. 设三阶矩阵，三维向量，若向量与线性相关，则 14. 从的基到基的过渡矩阵为 15. 已知向量与向量正交，则 1. 下列命题正确的是（ ）（A）如果有一组不全为零的数，使，则线性无关（B）如果有一组全为零的数，使，则线性无关（C）若向量组线性相关，则可由线性表示（D）若向量组线性相关，则至少有一个向量是其他向量的线性组合 （E）如果有不全为零的数，使，则线性相关，也线性相关2. 设，则（ ）时，可由线性表示（A）(2，0，0) （B）（-3，0，4） （C）（1，1，0） （D）（0，-1，0）3. 设向量组（1）:与向量组（2）:等价，则( ).(A) 向量组
5、（1）线性相关 （B）向量组（2）线性无关（C）向量组（1）线性无关 （D）向量组（2）线性相关4. 设维向量组线性无关，则( ).（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关（D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关5. 设三阶行列式，则( ).（A）中至少有一行向量是其余行向量的线性组合（B）中每一行向量都是其余行向量的线性组合（C）中至少有两行向量线性相关（D）中每一行向量都线性相关.6. 设不能由非零向量线性表示，则( ).(A)线性相关 (B)线性相关(C)与某个线性相关 (D)与任一都线性无关
6、.7. 若向量组线性无关，则向量组线性无关的充分必要条件是（ ）（A）向量组可由向量组线性表示（B）向量组可由向量组线性表示（C）向量组与向量组等价（D）向量组与向量组的秩相等8. 设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（A）（B）（C）（D）9. 设，则向量组的秩是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）310. 设A：是一组维向量，且线性相关，则( ). (A)A的秩等于4 (B) A的秩等于 (C) A的秩等于1 (D) A的秩小于等于3.第四章、线性方程组1 设为阶方阵，若，则的基础解系所含向量的个数是（ ）。0个(即不存在) 1个 2个 个 2如果元非齐次线性方程组的系数
7、矩阵的秩小于，则（ ）。 方程组有无穷多个解 方程组有惟一解 方程组无解 不能断定解的情况3设满足条件：(1) ()，其中是元素的代数余子式；(2) ；(3) ，则方程组，的解是（ ）。 4设为阶奇异方阵，中有一元素的代数余子式，则齐次线性方程组的基础解系所含向量个数为（ ）。个 个 1个 个5要使，都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（ ）。 (1 ) 6设为矩阵，且的行向量组线性无关，则（ ）。 的列向量组线性无关 方程组的增广矩阵的行向量组线性无关 方程组的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关 方程组有惟一解7已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组的基础解系，是任意常数，
8、则的通解是（ ）。 8要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（ ）。 (，1，1) 9齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 系数矩阵的任意两个列向量线性相关 系数矩阵的任意两个行向量线性无关 系数矩阵中至少有一个列向量是其余列向量的线性组合 系数矩阵中任一列向量都是其余列向量的线性组合10设元齐次线性方程组中，则有非零解的充分必要条件是（ ）。 11设为阶方阵，且是的三个线性无关的解向量，则的基础解系是（ ）。 12设是矩阵，则方程组有非零解的充要条件是（ ）。 的列向量组线性相关13对非齐次线性方程组及其导出组，（ ）。 若仅有零解，则无解 若有非零解，则有无穷多解 若有无穷多解，则有
9、非零解 若有唯一解，则有非零解14设为阶方阵，且秩，是的两个不同的解向量，则的通解为（ ）。 15齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（ ）。 且 且 且 且16设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）。 17设是矩阵，是非齐次方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。 若仅有零解，则有惟一解 若有非零解，则有无穷多个解 若有无穷多个解，则仅有零解 若有无穷多个解，则有非零解18若方程，有个不等实根，则必有（ ）。 全为零 不全为零 全不为零 为任意常数 19设为矩阵，则与线性方程组同解的方程组是（ ）。 当时， ，为初等矩阵 秩()
10、=秩()=时，由的前个方程所构成的方程组 ，其中为矩阵，且20设是阶矩阵，是维列向量，若秩=秩()，则线性方程组（ ）。 必有无穷多解 必有惟一解 仅有零解 必有非零解第五章一、 填空1.设三阶方阵A 的的特征值为1，-1，2，则分块矩阵的特征值为 .2. 已知3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵的特征值为 ，行列式= .3.设A,B为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，为B的n个特征值，且存在可逆矩阵P使，则 .4.已知A为三阶实对称矩阵，满足,且，那么A的三个特征值为 . 5.设A为n阶矩阵，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值 . 6.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的
11、n个特征值是 .7.矩阵，且A相似于B，则a . 8.n阶单位矩阵的特征向量为 .9.齐次线性方程组 解，都是A的特征向量.10.矩阵的全部特征值之和为 .11. 矩阵的全部特征值之积为 .12.设A是n阶方阵，为A的伴随矩阵，且，则方阵的特征值为 .13.如果x是矩阵A的特征向量，则 是矩阵的特征向量. 14.矩阵可以求特征值的条件是 .15.设是的特征值，则 .16.已知矩阵，且A与B相似，则 .17.设矩阵有三个线性无关的特征向量，则x，y应满足的条件是 .18.设三阶方阵A有3个特征值，如果，则 .19.已知四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，则 ，= ，= ，= . 20
12、.已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵,则 .二、选择1. 设三阶矩阵A的特征值全是0，1，-1，则下列命题不正确的是 .(a) 矩阵是不可逆矩阵 (b) 矩阵和对角矩阵相似 (c) 矩阵A属于1和-1的特征向量正交(d) 方程组的基础解系由一个向量组成2.矩阵的特征根是 . (a) 1，0，1 (b) 1，1，2 (c) -1，1，2 (d) -1，1，13.设三阶矩阵A的特征值全为0，则必有 . (a) (b) (c) (d)条件不足，不能确定 4.设2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于 .(a) (b) (c) (d) 5.如果n阶矩阵A任意一行的n个元素之和都是a，
13、则A有一个特征向量 .(a)a (b) a (c) 0 (d) a-16.若三阶方阵A相似于 ，则A的特征值为 . 7.n阶方阵A具有n个不同特征值是A与对角阵相似的 . (a)充要条件 (b) 充分而非必要条件 (c) 必要而非充分条件 (d) 既非充分也非必要条件8.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 . (a) (b) A与B有相同的特征值与特征向量 (c) A与B都相似于一个对角阵 (d)对任意常数t，与相似9.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 . (a)数量矩阵kE() (b) 对角矩阵A(主对角元素不为一) (c) E (d) 任意n阶可逆矩阵 10.设，且A的特征
14、值为，则A有3个线性无关的特征向量，则x . (a)2 (b) -2 (c) 4 (d) -4 11.设矩阵，A的特征值为1，2，3，则 .(a) (b) (c) (d) 12.设矩阵 ，矩阵A与B相似，则与之和等于 .(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 513.若矩阵A与B相似，即，则有 .(a) (b) (c) A与B都相似与一个对角阵 (d)对相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量14.设A是n阶方阵，是A的特征值，是A的分别对应于的特征向量，下列结论正确的是 .(a)若，且也是A的特征值，则对应的特征向量是 (b)若 ，则一定有的对应分量成比例 (c) 若 ，则(d) 若，
15、则一定不是A的特征向量15.设，则A相似于 .(a) (b) (c) (d) 16.已知三阶矩阵A的特征值是0，则下列结论不正确的是 .(a)矩阵A是不可逆的 (b)矩阵A的主对角元素之和为0 (c) 1和-1所对应的特征向量是正交的 (d) 的基础解系由一个向量组成17.设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知，则矩阵属于特征值的特征向量是 .(a) (b) (c) (d) 18.已知三阶矩阵A与三维列向量X，若向量组线性无关，而,则矩阵A属于特征值的特征向量是 .(a)X (b) (c) (d) 19.已知A为n阶可逆矩阵，若,则下列命题中 正确的命题共有 .(a)4个 (b)3个 (
16、c) 2个 (d)1个20.设A为n阶方阵，则下列结论正确的是 .(a)若A可逆，则A的对应于的特征向量也是A*的对应于特征值的特征向量(b) A的特征向量就是方程组的全部解向量(c) A的特征向量的任一线性组合仍为A的特征向量(d) A与具有相同的特征向量第六章1已知二次型的标准形为则参数 。2设的秩为2，则参数 ，此二次型对应矩阵的特征值为 。3设问（1）当的取值范围为 时，是正定矩阵；（2）当= 时，存在可逆矩阵矩阵，使得（3）当= 时，存在可逆矩阵矩阵，使得（4）当的取值范围为 时，存在可逆矩阵矩阵，使得4二次型经过可逆线性变换可化为标准形 ，正惯性指标 ，符号差 。5设二次型是正定的
17、，则的取值范围 。6二次型的矩阵为 （）（）（）（）7如果是阶正定实矩阵，则一定是 （）实对称矩阵；（）正交矩阵；（）正定矩阵；（）可逆矩阵。8二次型是正定二次型的充要条件是 （）存在维向量，使；（）；（）的正惯性指标为；（）的负惯性指标为0。9如果是阶正定实矩阵，且正定，如果矩阵与相似，则必为 （）实对称矩阵； （）正交矩阵；（）可逆矩阵； （）以上答案都不对。线性代数模拟试卷（一）一. 填空题：（每题3分，共30分）1. 五阶行列式中含有因子 的正项为_.2. 设，且向量组线性无关，则向量组线性_.3. 若n阶矩阵A可逆，则=_.4. 已知矩阵A=，则_.5. 若A满足，则=_.6. 设4
18、阶行列式，则=_.7. 设为三阶方阵，=1，则=_.8. 三阶矩阵A的特征值为1，-2，3，设，则B的全 部特征值为_.9. 已知矩阵相似，则_，_.10. 设则_.二. 设阶矩阵满足条件，（1）证明为可逆矩阵；（2）已知，求矩阵. （12分）三. 计算n阶行列式的值： （6分）四. 求非齐次线性方程组的通解. （15分）五. 已知三阶实对称阵A的特征值为, ,对应的特征向量为，求矩阵. （15分）六. 求下列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示：（7分）七.求一个正交变换，把二次型化为标准型，并判定是否为正定二次型. （15分）线性代数模拟试卷（二）一、选择题:(
19、每题4分，共20分)1. 阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ).()是实对称阵; ()有个互异特征值; ()有个线性无关的特征向量; ()的特征向量两两正交.2. 若齐次方程组有无穷多解，则非齐次方程组 ( ). () 必有无穷多解. () 可能有唯一解. () 必无解. 有解时必有无穷多组解.3、若向量组线性无关，向量组线性相关，则( ). () 必可由线性表示; () 必不可由线性表示; () 必可由线性表示; () 必不可由线性表示4、阶方阵满足，是阶单位阵，则 ( ).() ，但; () ，但; ()，且; () ，且.5、向量组()线性无关的充分必要条件是该向量组中( ).() 所
20、有向量非零 () 任意两个向量的对应分量不成比例() 有一个部分组线性无关 () 任意一个向量不能由其余向量线性表示二、填空题: (每题4分，共20分)1.向量组(A): 与向量组(B): 等价，且向量组(A)线性无关，则r与s的大小关系是 . 2. 若, 则x的一次项的系数是 .3. 设矩阵 则= . 4. 如果A是3阶可逆矩阵矩阵，互换A的第一，第二行得矩阵B ,且，则= . 5. 设矩阵，其中都是维列向量，若的行列式，的行列式 则的行列式 . 三、设矩阵，且，求矩阵B. (15分)四、解方程组.(15分)五、用正交变换化二次型 为标准形，给出所用的变换，并指出是否为正定的. (20分)六
21、、设向量组线性相关，向量组线性无关，证明(1) 能由线性表出（5分）； (2) 不能由线性表出（5分）.第一章答案1. 3，奇排列 212，偶排列 3 4 5 6，7. 8. 9. 10, 11. ， 1275 13. 14. 15. 16. 17. 或第二章答案一 选择题1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. D 7. C 8. C 9.A 10. B二 填空题1. ，2. 3. 4.16 5. 6. 7. 2 8. 9. 10. 第三章答案1.（1） 无关 . （2） 相关 .2. 3. .4. 5.（1） 相关 （2） 无关 6. 2 .7. .8. 3 9. 2 .10
22、. ， 3 .11. .12. 2 .13. -114. 15. -2 二选择题 1. D 2. A B 3. A 4. B D 5. A 6. D 7. D 8. C 9. C 10 D 第四章答案1. C 2.D 3.C 4.C 5.B 6. B 7. B 8.A 9. C 10. B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.C 16.B 17.D 18.A 19.B 20.D第5章 特征值与特征向量答案一、填空(1)由知，B的特征值由及的特征值构成，即为2，-2，1， ，-1 (2) -1，-3，0，0 (3) n (4) 因A是实对称矩阵，故,由得，由得,故A的特征值为3，3，0
23、 (5) (6) n，0，0，0 (7) 1 (8) 任何非零n维向量 (9) 非零(10) 0 (11) 0 (12) 5 (13) (14) (15) n (16) 6 (17) (18) 6 (19) 120，360，4928 (20) 矩阵A不可逆，则必为A的特征值，则B的特征值为3，2，3，所以二、选择(1)C (2) C (3)D (4)B (5)A (6)A (7)B (8) D (9)C (10)B(11)B (12)C (13)B (14)D (15)C (16) C (17)C (18)C (19)B (20)A第六章答案12， 23 ， 0，4，9 3， 0 ，5 ，4
24、， 2 ，2 ，56D7D8C9C线性代数期末考试 课程试卷 B 卷一选择题 (每题3分，共18分)1. 阶方阵满足，是阶单位阵，则 ( ).(A) ，但； (B) ，但；(C) ，且； (D) ，且.2. 设矩阵的秩为，则中（ ） (A) 所有阶子式都不为0(B) 所有阶子式全为0 (C)所有阶子式都不为0 (D) 至少有一个阶子式不等于03. 向量组 ()线性无关的充分必要条件是该向量组中 ( )() 任意两个向量的对应分量不成比例 () 任意一个向量不能由其余向量线性表示() 有一个部分组线性无关 () 所有向量非零4. 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组的基础解系，是任意
25、常数，则的通解是（ ）. 5 .已知三阶矩阵A的特征值是0，则下列结论不正确的是 . 矩阵A是不可逆的 矩阵A的主对角元素之和为0 的基础解系由一个向量组成 1和-1所对应的特征向量是正交的6. 阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ).(A) 有个互异特征值 (B) 有个线性无关的特征向量(C) 是实对称阵 (D) 的特征向量两两正交.二、填空题：（每题3分，共18分）1. 已知，则_.2. 已知，则.3. 矩阵，其列向量组的一个极大无关组为（用表示其第列）.4. 已知，且，则=_.5. 已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵, 则.6. 设二次型是正定的，则的取值范围 .三、设矩阵，且，
26、求矩阵. (13分)四、求解行列式的值(10分)五、求非齐次线性方程组的通解，并写出基础解系. （13分）六、已知三阶实对称阵A的特征值为, ,对应的特征向量为，求矩阵.（13分）七、用正交变换化二次型 为标准形，给出所用的变换，并指出是否为正定的. (15分)线性代数考试试卷 A卷一. 填空题：（每题4分，共32分）1若的代数余子式，则代数余子式.2已知，则_.3. 设是的矩阵，则_. 4. 矩阵，且A相似于B，则a_.5. 设二次型是正定的，则的取值范围是_.6.如果A是3阶可逆矩阵矩阵，互换A的第一，第三行得矩阵B ,且，则= . 7. 已知，线性相关，那么= _.8. 三阶矩阵A的特征
27、值为1，-2，3，设 ，则B的全部特征值为_.二选择题（每题3分，共18分） 1. 设为四阶矩阵，且，则( ).（A） 2 （B） 4 （C） 8 （D） 12 2. 设矩阵的秩为，则中( ). （A） 所有阶子式都不为0（B） 所有阶子式全为0 （C）所有阶子式都不为0 （D） 至少有一个阶子式不等于0 3. 设三阶行列式，则( ).（A） D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合 （B） D中每一行向量都是其余行向量的线性组合（C） D中至少有两行向量线性相关 （D） D中每一行向量都线性相关.4. 若向量组线性无关，向量组线性相关，则( ).(A) 必可由线性表示 (B) 必不可由线性表
28、示(C) 必可由线性表示 (D) 必不可由线性表示 5. 阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ). (A) 有个线性无关的特征向量 (B) 有个互异特征值 (C) 是实对称阵 (D) 的特征向量两两正交6. 对非齐次线性方程组及其导出组，有( ).(A) 若仅有零解，则无解 (B) 若有无穷多解，则有非零解(C) 若有非零解，则有无穷多解 (D) 若有唯一解，则有非零解三（本题满分10分）已知向量组的秩等于3，令证明线性无关。四（本题满分14分）求非齐次线性方程组的通解： 五（本题满分12分）设矩阵A=, 矩阵X满足：，求X。 六（本题满分14分）用正交变换化二次型为标准形，并写出所作的正交变换。
