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1、3.1.3.两个向量的数量积,3.1空间向量及其运算,一、几个概念,1）两个向量的夹角,2）两个向量垂直,4）两个向量的数量积,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。,3)向量的长度（模）,1)数量积性质,求向量的长度(模)的依据,对于非零向量，有：,二、数量积的性质,证明向量垂直的依据,2)数量积满足的运算律,求向量夹角的依据,练习1,1.判断真假：,3.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点。计算：,假,假,假,O,假,真,例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线 l 与的交点为B，且l m，l n，求
2、证：l,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g 垂直。,例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB,H,OABCAHBC,OBACBHAC,H是垂心，CHAB,得：OCAB,方法2：,例3 已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别是BC、AC、OA、OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN。,练习2：,2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MNAB,MNCD。,3.已知空间四边形OABC,OB=OC,AOB=AOC=，求证：OABC。,4.如图，已知正方体,和 相交于点O，连结AO，求证:AOCD。
3、,2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。,同理，,3.已知空间四边形，求证：。,4.如图，已知正方体，和 相交于点，连结，求证：。,例4 如图，已知线段AB在平面 内，线段AC，线段BDAB，线段DD，DBD=30，如果AB=a,AC=BD=b，求C、D之间的距离。,解：由，可知.由 知.,问：若去掉“如图”，并将“DBD=30”变成“AC 与BD成60角”，结果有无变化？,例5已知在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,BAD=90,BAA=DAA=60,求对角线AC的长。,解：,引伸：求BD的长；,求直线AC和BD的夹角的余弦值。,例6已知在正四面体ABCD中，E、F分别为BC和AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。,设AB=m，,AE与CF所成角的余弦值是,小结,1正确分清楚空间向量的夹角。,2明白两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。,3.能利用向量数量积证明垂直。,4.能利用向量数量积求线段长。,选取同起点(或有数量关系)的的三个向量作为基向量。,技巧,
