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1、数形结合思想在数与代数教学领域中的渗透研究什邡市朝阳小学 王薇摘 要 小学数学教学研究的对象，概括起来就是数和形两个方面。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本思想方法。“数”与“形”的相互转化、结合更是解题的重要方法。本文旨在比较完整的总结数形结合思想的形成与发展，试图给予数形结合思想一个较为完整的诠释；整理数形结合思想在小学数学教材数与代数、空间与图形和统计与概率等领域的具体体现；挖掘哪些知识点可以适时适度地渗透数形结合思想，并提出具体可行的教学建议；提供渗透“数形结合”思想的教学实践案例。力求探索一套具体的、可操作的研究框架和范例。一、 课题研究
2、的背景 研究缘起一：数学思想方法是数学的精髓数学思想方法，作为数学知识内容的精髓，是对数学的本质认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适用的方法，它是把数学知识的学习和培养能力有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新型人才的基础，更是一个人数学素养的重要内涵之一。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想根本区别之一。 数学思想方法有很多，如集合的思想方法、
3、函数的思想方法、对应的思想方法、数形结合的思想方法，优化的数学思想方法本文集中对数形结合思想在小学数学教学中应用进行研究。数形结合的思想体现了代数和几何中最精彩的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程机械化、可操作性强，便于把握，因此数形结合的思想是学好小学数学的重要思想方法，更承载了为中学数学打好基础的任务。研究缘起二：课程标准对“四基”的要求课程标准修订稿在对学生培养目标在具体表述上做了修改，在几年实验研究的基础上，对于课程改革倡导的使学生经历数学学习过程，学会数学思考等方面的经验进行了概括，归纳出基本思想和基本活动经验。在“双基”的基础上，提出了“四基”：即基础知
4、识、基本技能、基本思想和基本活动经验。由此可见，更突出了渗透数学思想的重要性。研究缘起三：教师的需要那么目前小学数学课堂教学中，渗透数形结合的思想方法落实得怎样呢？在小学数学领域有没有必要渗透数形结合的思想方法？为此，我对16名数学教师就数形结合的涵义、在解决问题中的表现进行了问卷调查。问卷由6道题组成：（1）您最早在 时就接触到“数形结合”这个词，当时与之相关的数学内容是 。（2）你是怎样理解“数形结合”一词中，“数”代表涵义是 ，“形”代表的涵义是 ，“结合”代表的涵义是 。（3）“数形结合”的涵义是 。（4）列举与“数形结合”思想方法相关的数学知识： 。（5）简述“数形结合”思想方法在数
5、学教育中的作用。（6）举例简述你在日常教学中如何进行“数形结合”思想方法教学的。调查结果统计：100%的调查对象接触过“数形结合”这个词。对“数”的涵义绝大多数人回答为：数量关系。有一部分人列举数量关系的外延来代替，例如数字和代数的字母、表达式及其之间的运算。也有一小部分的人望文生义认为“数”指代数、数据、函数等。对“形”的涵义绝大多数人回答为：空间形式。有一部分人列举空间形式的外延来代替，例如图形、图象、实物等。基本上没有太离谱的答案。对“结合”的涵义答案相当多。大多数人认为“结合”就是：相互转化（换）、相互反映、相互表达、建立对应关系等等。另外有3名调查对象没有填写。对于“数形结合”的作用
6、。35%的调查对象直接引用或间接引用这句话：“数无形时少直觉，形少数时难入微”。 87.5%的调查对象认为“数形结合”的主要作用在于将“数”转化为“形”，化抽象为形象，使学习者建立了直观的认识，或使解题者便于发现问题的隐含条件，即以“形”助“数”。但没有人将借“数”解“形”及其同义词名单独地作为答案。由此可见：（1）“数形结合”一词在小学数学界传播甚广。（2）半数的人了解“数形结合”的基本涵义，但对其理解多集中于对象性上，对功能性涵义关注不够。（3）通过对“数形结合”作用的调查发现，多数人对将数转化形比较兴趣。但是觉得数学思想方法在教学目标中不象数学知识目标那样显性，觉得是隐性的，想渗透但不知
7、怎样渗透怎样培养。老师其具体原因是多方面的，同时也可以发现对借“数”解“形”重视不足，从本调查中似乎还不能找到确切的答案，有待进一步发现。综上所述，数形结合的思想方法还没有真正落实到小学数学课堂教学中，老师们普遍重视的不够，部分老师仍然过分重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，而一些数学思想往往会被忽视，被理解成数学中最常见的，最基本、较浅显的内容，一带而过，有名无实。这种对数学思想理解偏颇的教学也导致了学生对数学本质理解的肤浅，不完整，也造成学生只能停留在解题方法的一招一式的模仿上，不易形成数学意识，因此学生对问题的审视不能站在一定的高度，对问题的解决缺乏灵活驾驭的能力。研究缘起四：学生
8、需求数学思想对学生的数学学习到底有多大的价值和功用，我们不妨通过以下的学生调研案例进行分析。案例：对“稍复杂分数乘法实际问题”的学生课前调研方式：先进行纸笔测试，再对个别学生进行访谈测试题目：（1）一套房子总面积63平方米，客厅占总面积的，客厅有多少平方米？（旧知）（2）一本书120页，已经看了这本书的，还剩多少页没看？（新知）测试结果：全班35人，26人全对。错误较多的集中在第二题，有120，也有120的。为了了解学生的错误原因，教师设计了下面的访谈提纲：（1）解决这个问题你是怎样想的？（2）你怎样理解“已经看了这本书的”。 （3）在这道题中谁与谁对应？下面是对三位学生访谈的情况。学生一：方
9、法120。问他如何想的，回答觉得应该用乘法。当问到如何理解“已经看了这本书的” ，回答不是很清楚，这时教师提示可以试着画图解释。该生画了右面的线段图，当教师问三条线段具体表示什么的时候，该生说到：第一条线段表示这本书；第二条线段表示看了的；第三条线段表示没看的。不难发现该生虽然画出了线段图，但对图中哪一部分具体表示什么，并不很清楚。于是教师进一步追问哪里是看了的，哪里是没看的，这时该生意识到开始求的是看了的部分，并不是没看的。学生二：方法120。同样是对“已经看了这本书的”不理解。在提示该生画图理解时，他首先把一个正方形分成4份取了2份，在教师提示下又画了下面的长方形图。由此可以看出该生能够正
10、确理解“已经看了这本书的”，从而意识到自己选择除法列式是不正确的。学生三：方法120。教师问该生是如何想的，学生回答“平均分成两份，用除法”。当问到如何理解“已经看了这本书的”，该生回答得很好并把自己的想法写了出来。教师继续要求该生画图理解，学生画得也是正确的（如右图）。但该生仍然认为是分两份。当再次追问他把“这本书”平均分成几份时，他才从图中发现是把120页平均分成了5份，应该用乘法计算。通过对这三个学生的访谈，说明画图对于学生分析解决问题非常重要。而学生主动画图的意识又十分缺乏，只有在老师要求下才采用画图的方法帮助自己理解。学生这种现实的表现同样说明了在小学数学教学中渗透数学思想方法的必要
11、。（二）研究设计1研究内容（1）梳理小学数学1-6年级教材中体现“数形结合”思想的课程内容，按照目的进行分类，提出具体教学建议,形成初步的框架。（2）在实践中收集一线教师渗透“数形结合”思想的实践案例并加以分析归类。2研究方法本课题研究方法主要采用行动研究的思想路线，注重实践探究和理论讨论相结合，灵活使用多种研究的方法。二、数形结合思想的涵义 1. 数形结合思想的涵义2我们对数形结合思想的理解对“数形结合”的定义往往是综合性的，采用代数方法和几何方法中最“精彩”的方面：几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程的机械化、可操作性强，便于把握。我们对“数形结合”的理解就是把数学问题
12、中的数量关系与空间形式结合起来进行思维，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，以形助数、以数助形。可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。三、数形结合思想在教材中的具体体现数形结合思想作为一种重要的数学思想，它在小学数学教材中又是如何体现的呢？为此，我们对小学1-6年级教材进行了系统梳理，发现数形结合思想在小学教材中有着广泛的体现，主要表现在以下几个方面：1 借助“形”的直观理解概念用形帮助学生学习数学，就是在数学教学中借助直观的手段给抽象内容赋以生动的形象，这
13、样使得抽象的数学表述与学生熟悉的直观形象相通，借助“形”把概念的本质特征显化，以利于学生准确地理解，深刻地记忆。如，教材在编写数与代数领域中数的认识、数的运算等内容时广泛采用以“形”辅“数”的方式呈现给学生，促进学生理解，发展学生数感。（1） 数的认识从整数分数小数负数的认识看教材的编排。在认识6和7时，教材借助珠架、点子图、小棒和数尺帮助学生认识数，建立数与形的一一对应关系，突出5、6、7之间的关系，渗透数序。在学习分数的意义时，教材通过呈现等分圆、正方形、线段等情境，帮助学生直观理解的含义。在认识小数意义时，教材将米尺作为学习小数意义的直观教具，以长度单位为例直观说明小数实质上是十进分数的
14、另一种表示形式。在认识负数时，教材借助数轴理解具有相反意义的量，认识正数和负数。（2）数的运算教材中除了利用“形”的直观认识数，在数的运算部分教材也同样借助“形”帮助学生理解算理算法。有了这些具体、可感的材料作支持，计算过程就显得直观明了，学生算理的理解、算法的掌握也就自然、轻松。两位数减两位数退位减法历来是教学的难点，如何让学生理解 “退一当十”呢？教材借助小棒，直观呈现“56-18”的笔算过程，理解退位减法笔算算理，掌握笔算方法。在人教版8和9的口诀学习中，出现了数线模型 。在学习同分母分数加法时，教材利用平面图形直观呈现2个加1个的过程，理解分数加法的算理，发现同分母分数加法的的算法。（
15、3）解决问题数形结合是解决实际问题行之有效的方法。运用数形结合能揭示数学问题的条件和法论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式的巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合寻找解是思路，使问题得到解决的思想方法。教材在分析问题的过程中，充分利用线段图，面积图、矩形图等揭示题目中的隐含条件、突破问题关键、找出中间问题，把数和形结合起来，把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。在学习分数实际问题时，教材借助线段图直观呈现数量之间的关系。 2 提供一种思维的方式小学生的思维特点是从具体形象思维逐步发展到抽象逻辑
16、思维，这种抽象逻辑思维又在很大程度上依附于形象的直观材料。所以数形结合不仅是一种数学思想，对小学生而言也是一种很好地思考问题的方式。借助数形结合，可以使学生左右脑协同作用，发挥全脑功能，交互运用抽象思维和形象思维，有效地提高学习效果。（1） 几何问题代数化学习“位置”这个内容时，教材用行列示意图表示出各场所的位置，用数对刻画某一位置，以数助形，使平面上的点与数对一一对应，为今后学习坐标奠定了基础。几何问题代数化，为研究几何提供了一种新的思维方式。（2） 代数问题几何化在认识1000以内的数时，教材借助小立方体模型的变化直观地认识计数单位“一”、“十”、“百”、“千”，理解它们之间的十进制关系。
17、学生很有兴趣，其效果比抽象的讲计数单位要好很多，计数单位以这种形式在孩子们脑海中建立了表象，代数问题几何化，为后面的数的大小比较、数的计算的学习打下了良好的基础。3借助数形结合多重表达教材在学习“正比例意义”时，呈现了体积与高度的正比例关系图像。通过观察图像，让学生体会正比例图像的特点和作用，利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值，加深了学生对正比例关系的认识。体积与高度的正比例关系也可以用代数式表达。V=sh，当s一定，等于25平方厘米时，体积与高度的正比例关系式是V=25h 。数形结合为研究函数提供图像和代数式等不同表达方法。四、对数形结合思想在教学中应
18、用的建议数形结合是重要的数学思想，思想即意识的结果，最重要的是培养学生使用数形结合的意识。1早期渗透“形”的语言学生在初入学时，就会认识数，教师则要充分利用教学资源，让学生及早接触形的语言。让学生观察实物图，数出数量，用数字几表示？引导学生用小棒摆一摆。用4根小棒可以摆一个正方形，5根小棒可以摆一个五边形。认识形的语言，为以后利用形刻划数奠定基础。2认识常用直观模型在日常教学中，教师可以有意识的引导学生认识多种直观模型。模型包括实物模型、图解模型、操作模型。从点子图到立方体，从直尺到数轴，还有国外的示意线这些既熟悉又陌生的模型不断地呈现在课堂，使学生认识到在学生学习中，这些直观模型起到非常重要
19、的作用。 老师在进行教学时为学生提供了一张如右图所示的“点子图” ，同时要求学生“利用你手中的点子图，在图上画一画，然后找到解决1412、1214的办法，并把你的想法和思考过程写在纸上。” 以下是部分学生的结果： 学生4 学生5可以看出，借助点子图的拆分，学生探索出了许多不同的算法，这在以往的教学中是很少见的；其中学生5使用的方法，很自然地运用了乘法分配律（虽然学生还不知道这个重要运算定律），将14乘12分成了14乘2和14乘10，再求两个积的和；学生6不仅写出了正确的乘法竖式，也能将其中各部分与点子图对应，可见真正明白了算理。3鼓励使用多种表征学生早期经验的多样化，有助于培养学生乐于用自己的
20、方式解决问题的兴趣，也是未来学习的基础。鼓励学生用自己的方式表示抽象的“数”，使学生逐步认识：数轴是最好的直观模型，要把直尺、方格纸当作工具来使用。利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，以形助数、以数助形，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。 4培养数形转化意识5扩大范围 广泛应用以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用得最
21、多的是前者，我们可以把数学结合思想方法渗透在“数与代数”领域中的每一内容。数的认识方面，对“数与代数”领域的“数的认识”中利用数形结合思想方法教学，例如在教学1000以内数的认识这节课教学中利用小立方体有效的帮助学生构建知识，以及初步感知十进制的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数到9变成10时，通过演示让学生理解10的由来同时强化十进制关系。同时通过“形”来感知数的多少，既形象又深刻，培养了学生良好的数感。数的运算方面，借助“形”来帮助学生理解非常重要，
22、除了我们常用的可以利用小棒等实物或图形来理解算理外，我们还可以丰富其内容，比如：“20以内加法”的教学中可以渗透数形结合思想，画一个坐标轴，横5，竖8，加起来13，对形数结合的思想进行早期渗透和培养。再比如在问题解决方面，借助数形结合能化抽象为形象，帮助学生建立直观模型，让数量关系更形象、更清晰。例如在教学分数应用题中，利用线段图理解题意的例子比比皆是。通过画图，学生能够更直观地找到题目中隐含的“量”、“率”关系。例如：糖厂5月份生产白糖420吨，比生产红糖的80%多20吨。5月份生产红糖多少吨？画图理解： “1”红糖： ？吨 80%白糖： 20吨 420吨此时，学生会很容易找到（42020）
23、与80%的对应关系，所以除了运用方程的方法，学生还可以运用算数的方法解决此题。帮助学生形成数形结合思想的意识，之后还要加强画图方法的练习。任何一种数学思想方法的学习和掌握，绝非一朝一夕的事，也非讲几节“专题课”所能奏效的，它需要有目的、有意识地培养，需要经历渗透、反复、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程。常见的量方面，例如在教学24时记时法的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成。式与方程方面，例如，在认识方程的教学过程中，可以利用天平称中的等量帮助学生理解方程中的等量关系。正比
24、例、反比例方面，可以利用有坐标系的方格纸上画图的方式，让数形结合根据给出的有正比例关系的数据的其中的一个量的值来估计另一个量的值。探索规律方面，例如，认识找数列4，7，10，13的规律时，可以利用图 形： 。数形结合让事物中隐含的规律形象化，直观化，帮助学生寻找和发现规律，并在脑中留下深刻的印记。以上例子仅是代表而已，只要我们留意，数形结合思想方法存在“数与代数”领域的每一个角落。6丰富方式 形式多样数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。
25、教师可以采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。可以采用以下方式：运用或联想实物。画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等等。利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上几何模型。 五、进一步讨论的问题 1、“先数后形”与“先形后数”的呈现如何协调？在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数”。两者呈现的结果是不一样的，如何把握？还要继续研究。2、数形结合思想和抽象逻辑思维训练如何平衡？数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的，两者如何平衡？还有待于进一步研究。六、对其他数学思想的研究总之，教学中不能只是传授一种知识或一种方法，只注重数学形式层面的教学，应更重视数学发展层面的教学，即让学生在经历“数学家”解决问题（也即数学化）的过程中去理解，去感受一种数学的思想和观念。同时这种思想和观念又促使学生对数学知识的理解超越机械的水平，达到理解和领悟的水平，以培养学生的数学素养。在小学数学教学中渗透运用数学思想，是一个很有价值的研究课题。还有待进一步开掘，希望在教学实践中能获得更多同行们的宝贵经验。12
