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1、5.2 二次型及其标准形,一、二次型的矩阵表示,1、二次型,定义1.n个变量 的二次齐次函数,2、二次型的矩阵表示法,令,其中,A是一个n阶对称矩阵,称为二次型的矩阵表达形式,A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.,说明：,（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；,（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；,写出它的矩阵表达式。,例1：,解：,例2,解,0,2,0,注,1、变量的线性变换,定义5.2,关系式,令,则线性变换的矩阵形式为,x=Cy,二.二次型的标准形.,说明,为满秩（或可逆）的线性变换，此时,（1）如果系数矩阵C可逆，即|C|0，则称线性变换x=Cy,（2）如果系数矩阵C为
2、正交矩阵.则称线性变换x=Cy为正交变换.,定义5.3,此形称为f的标准形.,标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）,注：,二次型研究的主要问题是：,寻找满秩线性变换，化二次型为标准形,所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,定理5.1,3、矩阵的合同,合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。,因此二次型经过满秩线性变换后，,所得到的二次型矩阵B与原二次型矩阵A是合同的.,定义5.4,5.3、化二次型为标准形,定理5.2,一、用正交变换化二次型为标准形,证明：对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使,令正交变换x=Qy，在此变换下,例4,解,二次型矩阵,A的特征多项式,A的特征值
3、为,把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为,将它们正交化，得,再单位化，得,把2=10代入齐次方程组，得基础解系为,单位化，得,正交矩阵,则,令正交变换X=QY，则,（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。,（二）用满秩线性变换化二次型为标准形配方法,例2,解,把含有x1各项集中在一起,把含有x1各项配完全平方,把含有x2各项集中在一起，再配平方,令,显然,则标准形为,验证,例3,解,令,有,构造平方项,令,则,这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：,显然,即,其中,2、,令,这样计算对吗？,正确的做法应该是什么？,（三）初等变换化二次型为标准
4、形,即,用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换.,例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换.,B,C,注意不是I,标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，而系数不为0的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是唯一的，与所作的满秩线性变换无关.,例如,四.惯性定理,定理5.4（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等.,定义：在二次型的标准形中，正系数的个数 P（唯一确定）称为 二次型的正惯性指数，负系数的个数 N（唯一确定）称为负惯性指数，P
5、+N=r.它们之差 s=P-N 称为符号差。,定理5.5 任意二次型f 均可经满秩线性变换 化为,二次型f的规范形,5.4、二次型与对称矩阵的有定性,1、定义5.5,例1,正定,例2,所以是半负定.,例3,是不定.,2、实二次型（实对称矩阵A）正定的判别方法：,（1）、下列条件都是实二次型f(x1,x2,x n)=XTAX 正定的充 分必要条件：,正惯性指数为n.,A的所有顺序主子式全大于零.,A的特征值全大于零.,A与单位矩阵In合同.,存在正交矩阵Q，使,例4,解,2,2,-4,-4,-2,-2,它的顺序主子式为,=1 0,=1 0,所以f正定.,（1）,（2）,令,经过这个非退化的线性变
6、换，二次型化为,因此该二次型的正惯性指标为2，,从而该二次型不是正定的.,例5,解,解不等式组,（2）、正定矩阵的性质：,A是正定矩阵，若A B，则B也是正定矩阵.,A正定|A|0，即A可逆.,A正定 kA(k 0)，AT，A1，A*也是正定矩阵.,A正定 A的主对角线上的元素a jj 0.,证明：A正定 A*也是正定矩阵.,证,方法一,设A的特征值为,且|A|0，,并且A*的特征值为：,即A*的全部特征值都大于零，,所以A*也是正定矩阵.,方法二,由A正定知，,|A|0，且存在可逆矩阵C，使,于是,其中,且P为可逆矩阵，,所以A*也是正定矩阵.,例6,设A是n阶正定矩阵，I是n阶单位矩阵，证
7、明|A+I|1.,设A的特征值为,证,则A+I的特征值分别为,从而,例7,证,代入已知等式，得,因为,故满足,得,因为A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，,故只有=1，,即A的全部特征值都大于零，,因此A是正定矩阵.,n阶可逆矩阵A与I等价。,只有单位矩阵In与In相似。,只有正定矩阵与单位矩阵合同。,1、设A和B为n阶矩阵，则（）成立,（1）、A B A和B等价；,（2）、A和B等价 A B；,（3）、A B A和B等价；,（4）、A和B等价 A B；,（5）、A B A B；,（6）、A B A B；,1,3,n阶实数矩阵A，如果ATA=I，称A为正交矩阵.,都是实对称矩阵，但A,B不相似,此时A与B虽合同，但特征值是不同的.,（b）、A B A B；,事实上，由于A,B是实对称矩阵，,总存在正交矩阵Q,P,使,又A B,由于Q,P为正交矩阵，由性质有,所以,即,A B,因此,A B,
