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1、第四章,基本内容：一。向量组的线性关系（一）.线性组合判断,是,线性组合通常有两个方法,1）.定义法即.解非齐次线性方程组法。令,解,判其是否为线性组合。,2）利用线性组合与线性相关的关系（二）.线性相关无关1.线性相关性的判定线性相关性的判定通常有下面几个方法：1）.定义法即.解齐次线性方程组法。令,，解,看其是否有非零解。2）.用初等变换求矩阵,3）.利用线性相关性有关性质。,的秩,2.线性相关性有关性质1）.一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关。2）.两个向量线性相关（无关）的充要条件是对应分量成比例（不成比例）。3）.,n个n,维向量,线性相关（无关）的充要条件是其组成的行列式,（
2、,4）.部分相关则全体相关（全体无关则部分无关）。.,5).m个n维向量当mn,时必线性相关（当向量组含向量的个数超过维数必线性相关）。6）.如果向量组:,线性相关，则其任意截断向量组必线性相关（如果向量组,线性无关，则其任意延长向量组必线性无关）。,3.线性相关与线性组合的关系1）.,线性相关,其中至少有某向量是其余向量的线性组合。2）.,线性无关，,线性相关，则,可由,线性表示，且表示的系数唯一。3）.若向量组,可由向量组,线性表示，且,则,线性相关。,（三）.极大无关组、秩（1）.向量组,V的极大无关组的等价命题1）.,线性无关，,2)V中任意r+1,个向量线性相关。,线性无关，,则,为
3、V的极大无关组,或1）,2）V中任一向量可由,线性表示。,则,为V的极大无关组,极大无关组有两个最基本的特点是线性无关性；极大性，它标明向量组,中线性无关（独立）的且含个数达到最大的子向量组。通常情况使用定义2）较为方便。,（2）.极大无关组及秩的求法1）.定义法（扩充向量法）；2）.初等变换法，即将,按列排成矩阵A,，施以行初等变换化为行阶梯形B,由B的列极大无关组反寅得,A的列的极大无关组。如果进一步化成行最简形，还可由将最简形中其余向量用极大无关组线性表示。通过反寅可将,A中列的其它向量用极大无关组线性表示。,二.线性方程组解的解的定理及解的结构（一）.齐次线性方程组,。,（,）,1.解
4、的条件:,2.解的性质:(1)任意两个解向量至和仍为解向量(2)解向量与实数之积仍为解向量从而解向量的线性组合仍为解向量,矩阵,定理:设A为,，则,3.解空间的维数定理:,4.解的结构定理:,设线性方程组Ax=0的基础解系为:,则该方程的通解为,（二）.非齐次线性方程组,解之和仍为,。,的任意两解之差是,的解。,1.解的性质:,的解与,的解,（2）.,有解的判别:,有解,是A的n个列的线性表示。,的一般解(通解),等于对应的齐次线性方程,的一般解加自己的一个特解即:,3.解的结构定理:,例题：（客观题参练习册）1.研究下列向量组的线性相关性：,2求下列向量组的秩，及一个极大无关组，并将其余向量
5、用该极大无关组线性表示：,3设向量组,，求向量组,的秩及一个极大无关组。,4设向量,，问：,取何值（1）,可由,唯一线性表示。（2）,不能由,线性表示。（3）,可由,非唯一线性表示，且求出表示式。,5非齐次线性方程组,问,取何值时？（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并求其解。,6设,线性无关，证明,线性无关。,7）A为n阶方阵，,，又设,是非齐次线性方程组,的两个不同的解，证明,为非齐次线性方程组,的通解。其中,K为任意常数。,8.（1）设,为齐次线性方程组,的基础解系。证明：,也是,的基础解系。（2）设向量组,线性无关，证明,线性无关的条件是数满足,。,9,为齐次线性方程组,的一个基础解系，,，数t，m,满足何条件，,也是,的基础解系。,
