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1、1.图乘法原理,建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。,梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：,称莫尔积分,图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘。,4-4 图乘法,2、图乘法的适用条件：,（1）杆件轴线是直线；,（2）杆段的弯曲刚度EI为常数；,（3）图 图 中至少有一个是直线图形。,3、图乘法公式,杆轴为直线,杆段EI为常数,图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。,Mp,dx,4、注意事项,（1）必须符合图乘法的适用条件；,（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；,还记得吗？,（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过
2、积分的方式求解；,（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3l/4,l/4,3.图形相乘的几种情况,（1）常见图形面积和形心：,矩 形,三角形,标准二次抛物线,（2）梯形相乘,b c取负值,（3）一般形式的二次抛物线图形相乘,（4）曲线图形与折线图形相乘,（5）阶形杆件图形相乘,M(x),x,l,x,C,对于等直杆有,当M图为正弯矩时，应代以正号.,当M图为负弯矩时，应代以负号.,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l
3、,h,三角形,C,C,l,h,顶点,二次抛物线,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3l/4,l/4,例1 求,EI等于常数。,解：,作 图 图，如右图所示。,分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。,如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。,图,例2 求,EI等于常数。,作 图 图，如下页图所示。,解：,1/2,1,y1,2,y3,8,12,4,4,MP图,1,3,y2,图,1,A,C,B,B,A,C,（kN.m),例3 求,EI等于常数。,解：,作 图及 图，如右所示。,分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。,例5-5 求CH，
4、EI等于常数。,解：,作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。,作业：4-3(a)；(c),4-5 互等定理,互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。,一、功的互等定理,功的互等本质上是虚功互等。,下图给出状态I和状态II。,令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：,同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：,所以,即,在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。,二、位移互等定理,在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移
5、影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12=21,由功的互等定理可得：,在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：,或,例1 验证位移互等定理。,例2 验证位移互等定理。,解：,三、反力互等定理,反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。,根据功的互等定理有：,在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即,或,所以,得,例6-3 验证反力互等定理。,可见：r12=r21,在任一线性变形体系中，位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。,四、位移反力互等定理,根据功的互等定理有：,令,上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。,位移反力互等定理在混合法中得到应用。,在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数，但二者符号相反。,例4 验证位移反力互等定理。,
