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1、1,第三章 习题,2,1.原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一维简单晶格，频率为格波un=Acos(t-qna).求(1)该波的总能量，(2)每个原子的时间平均总能量,3,(1)格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n个原子的动能为,解答,而该原子与第n+1个原子之间的势能为,若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为,4,将,代入上式得：,设为原子振动的周期，利用,可得,式中为原子总数,5,（）每个原子的时间平均总能量则为,再利用色散关系,便得到每个原子的时间平均能量,6,2一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同，分别为1和2，晶格常数为a，求
2、原子的运动方程及色散关系.,7,此题实际是一双原子分子链设相邻分子间两原子的力常数为2，间距为b；分子内两原子力常数为1；晶格常数为a.第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为un-1,un,un+1,un+2,第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与第n+2个原子属于同一种原子.第n和第n+1原子受的力分别为,解答,8,其运动方程分别为,设格波的解分别为,9,代入运动方程，得,整理得,由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即,10,解上式可得：,由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为,光学格波的色散关系为,11,5设有一长度为的一价正负离子构成的一维晶格
3、，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+和m-，近邻两离子的互作用势为，式中e为电子电荷，b和n为参量常数，求(1)参数b与e，n及a的关系；(2)恢复力系数；(3)q=0时光学波的频率0；(4)长声学波的速度vA；(5)假设光学支格波为一常数，且=0，对光学支采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶格热容。,12,(1)若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能取极小值，即要求,解答,由此得到,(2)恢复力系数,13,(3)光学波频率的一般表达式参见固体物理教(321)式,对于本题，a=2a，1=2=，m=m+，M=m-,所以q=0的光学波频率,14,(4)由固体物理教
4、程(3.25)式可知，长声学波频率,对于本题,长声学波的速度,15,光学波对热容的贡献,其中E是爱因斯坦温度，其定义为,按照德拜模型，声学波的模式密度,(5)按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能,布里渊区允许的波矢数目等于原胞数目L/2a,每个波矢点占据区域：,16,波矢密度,利用=vAq,声学波在dq的模式数目,d=vAdq,声学波的模式密度,17,声学波的热振动能,其中,D和D分别为德拜频率和德拜温度德拜频率可由下式,求得,18,声学波对热容的贡献,在高温情况下，ex=1+x，上式化成,先求出高温时的a，再求CVA更容易,19,在甚低温条件下，,其中,是一常数晶格的热容,20,9求一维简单晶
5、格的模式密度D(),21,一维简单晶格的色散关系曲线如图所示由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq，2/a 区间对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有L/2 个振动模式d范围则包含,解答,个振动模式,22,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为,由色散关系得,将上式代入前式，得到模式密度,23,12.设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成,试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度D()（3）晶格热容（列出积分表达式）。,24,(1)根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数,求解,将上式代入固体物理教
6、程一维简单晶格的（3.7）式得到色散关系,其中,25,（2）根据固体物理教程（3.7）式，一维简单晶格简正振动格波的色散关系式为,此式表明为q偶函数。设D()、D(q)分别表示单位频率间隔内和q空间中单位间隔内振动方式数，考虑到振动方式总数为原子总数N，可得,26,由D(q)为常数得,因此,再由,得,又,式中,27,由此得,28,（3）频率为的格波的热振动能为,这个晶格的热振动能,则晶格的热容,29,13.对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。,30,按照德拜模型，格波色散关系为=vq。由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2/a区间对应L/a
7、个振动模式，单位波矢空间对应有L/2个振动模式，d范围则包含,求解,个振动模式。,31,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为,再利用 式中N为原子总数，a为晶格常数得,32,固体物理教程（3.119）式得其热容量,作变量变换,得,其中,33,在高温时，x是小量，上式中被积函数,因此，晶格的高温热容量,在甚低温时，D/T，Cv中的被积函数按二项式定理展开级数,则积分,由此得到低温时晶格的热容量,34,17.按德拜近似，证明高温时的晶格热容,35,求解,由固体物理教程式（3.132）可知,在高温时，TD，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为,将上式代入Cv的表达式,36,代入上式得,37,21.设某离子晶体中相邻两离子的互作用势能,b为待定常数，平衡间距r0=310-10m，求膨胀系数L。,38,根据固体物理教程（3.148）式，线膨胀系数L可近似表示为,求解,由平衡条件 得,式中,于是,39,将以上结果及下列数据：,代入L的表示式，得,
