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1、二.能带和布里渊区,2.低能级对应的能带窄；高能级对应能带较宽。能带带宽主要取决于电子波函数的交叠程度。,考虑晶格周期场的作用，晶体中的内层电子状态用布洛赫函数描述，电子能量呈能带状分布。,3.一个能带在波矢空间占据一个布里渊区体积。,布里渊区内：能量准连续分布,布里渊区边界：能量发生突变,4.每个能带（布里渊区）能容纳2N个电子,三种近似方法：,2.准自由电子近似：（适用于晶体中原子的外层电子）,波函数：,布洛赫函数,能量：准连续的能量在布里渊区边界突变，分裂为能带。,单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论,在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波包来描述。所谓波包由空间分布在r0
2、附近的r范围内，波矢取值在k0附近的k范围内的布洛赫电子态组成,rk必须满足不确定关系。一般k必须小于第一布里渊区的线度，这样r必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度内，布洛赫电子可以看作经典粒子。,晶体中电子的状态是一个布洛赫波，所以电子的速度可以用布洛赫波波包的群速度来描述。,平均速度与其能量和状态有密切的关系。,一维：,三维：,其中,能量是波矢k的偶函数,在能量的极值，即能带的底部和顶部，E(k)为极值，电子的速度为0。,是波矢k的奇函数,变化,变化,产生加速度,d2E/dk20点对应速度的最大值点,对一维晶体施加外电场电子受到电场力:,牛顿定律：,运动状态变化的基本公式,根据功能原理
3、：,(1),(2),引入准动量,(3),三维：,注意：晶体中电子的准动量不同于电子的真实动量。,引入有效质量：,讨论：,1.有效质量取决于能带结构的曲率,曲率愈小，有效质量愈大；,曲率愈大，有效质量愈小。,根据牛顿运动定律进行类比：,2.有效质量有正、有负,能带底部，,能带顶部，,晶体场的作用被概括到有效质量内部，所以有效质量有正、有负。,在布里渊区边界处，电子交给晶格的动量多于它从外场中获得的能量，即由于晶格周期场的阻力，电子的速度减小，加速度与外力反向，,3.引入有效质量后，晶体场中的电子类似自由电子,能带底部附近：,其中,能带顶部附近：,其中,晶体场作用被概括到有效质量内部。,4.在外力
4、作用下，晶体中的电子犹如一个质量为m*的经典质点,一、能带理论虽然所有固体都包含大量的电子，但有的具有很好的导电性，有的却是绝缘体。这一基本事实曾长期得不到完满的理论解释。在能带理论基础上，首次对为什么有导体、绝缘体、半导体提出了一个理论上的说明，这是能带论发展初期的一个重大成就。也正是以此为起点，逐步发展了有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。,5.6导体、绝缘体和半导体,由能带论，波矢 取某些值时，能量曲线上有突变，形成带隙。对于实际晶体(三维)发生能带重叠。,一种情形是能量间断处的间隙很小，形成准连续的能带,或发生能带交叠，导体中大多属于这种类型。,另一种情形是能量间断处的间隙很大，形成有
5、带隙的能带；绝缘体、半导体和部分导体属于这种类型。,二、满带不导电,在一个完全为电子充满的能带中，每个电子贡献电流密度，但 状态与 状态的电子电流密度 和 互相抵消,净电流为0，不导电,1.未加外电场,2.施加外电场,k轴上各点均以完全相同的速度移动，在布里渊区边界 和 处,从 点移出的电子同时从 移进来，保持整个能带处于均匀填满的状况，亦无净电流。（k和-k仍然对称分布）,满带不导电,3.、不满带导电,在一个不满带中，电子在布里渊区中对称分布，状态与 状态电子的电流密度互相抵消。,净电流为0，不导电,未加外电场,施加外电场,k轴上各点均以完全相同的速度移动，电子在布里渊区中不再分布对称，电流
6、密度不能完全抵消。,净电流不为0，参与导电,不满带导电,不满带导电,F,导体能带示意图,实际晶体中，电子从低到高填充能带，形成一系列的满带。,最外层价电子填充的能带，称为价带。,导体：价带是不满带。,非导体：价带也是满带。,非导体能带示意图,绝缘体与半导体的区别在于价带和导带之间禁带宽度的大小。,绝缘体能带示意图,半导体能带示意图,作业：1，什么是能级状态密度，试求解体积为V的晶体的能级状态密度函数g（E）;2,什么是费米能级？3，什么是blocth定理？简单说明对blocth函数（波）的理解。4，定义能带和能隙？简单说明能隙是如何产生的。5，证明每个能带包含的电子状态数为2N。6，定义布里渊
7、区并说明每个布里渊区的大小7，以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布（画到第三区）8，说明并解释体心立方晶体和面心立方晶体的第一布里渊区的结构特点。9，图示说明什么是能带交叠？10，推导有效质量的表达式，说明引进有效质量概念的意义或作用。11，应用准经典运动的概念解释满带和不满带在电场作用下的导电性为。,复习,(二）经典物理学的困难（1）黑体辐射问题（2）光电效应（3）Compton散射问题,（1）Plank辐射定律：,在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份的，h,2 h,3 h。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量
8、子化的。1900年出现的Planck公式标志着量子力学的诞生。,（2）光电效应问题1897Hertz-1916Millikan,（2）光电效应问题1897Hertz-1916Millikan,总结出的光电实验规律无法为经典物理所解释：1.临界频率v02.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。3.光电子发射时间在109s内，与光强无关。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。,Einstein用光量子的概念成功地解释了光电效应的规律。p=E/C,光子的动量,（3）Compton散射问题1923-光的粒子性的进一步证实,1、散射光中，除了原来X光的波长
9、外，增加了一个新的波长为的X光，且；,2、波长增量:=随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。,但是如果把 X-射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解。,自从1905年Einstein 通过E=h公式提出光量子理论，经过18年之久，de Broglie克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对 的情况推广到 的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性：,（1）、De Broglie 关系,De Broglie 关系,物质世界的普遍规律,自从1905年Einstein 通过E=h公式提出光量子理论，经过18年之久，de Brogli
10、e克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对 的情况推广到 的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性：,（1）、De Broglie 关系,粒子波粒二相性的解释：,结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。,|(r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切的说，|(r)|2 x y z 表示在 r 点处体积元x y z中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几
11、率成比例。据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释（统计解释），它是量子力学的基本原理。,在t 时刻，r 点，d=dxdydz 体积内，找到由波函数(r,t)描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，C是比例系数。,C|(r,t)|2 d=1,（2）平方可积,（3）归一化波函数,（4）平面波归一化,平面波可归一化为 函数,1、态叠加原理,微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的
12、叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。,一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那么它们的线性叠加=C11+C22 也是该体系的一个可能状态。,其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。,力学量算符,既然(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px)一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那么动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)表示出来。但是(x)不含px变量，为了能由(x)来确定动量平均值，动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式，这种形式称为动量 p
13、x的算符形式，记为：,微观粒子量子状态用波函数完全描述(量子力学的假定1),1926年Schrodinger 提出了波动方程,该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。,波函数随时间演变遵从S方程（假定2）。,波函数标准条件,波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。,（一）定态Schrodinger方程,定态 Schrodinger 方程,（一）一维无限深势阱（二）线性谐振子,求解 S 方程 分四步：（1）列出各势域的一维S方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数,对应 m=2 n,对应 m=2n+1,能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。,由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处=0。这样的状态称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。,（一）一维无限深势阱,二 线性谐振子,
