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1、1.2 概率的定义及其确定方法,确定概率的频率方法,主要内容,概率的公理化定义,排列与组合公式,确定概率的古典方法,确定概率的几何方法,直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.,非负性公理：P(A)0;正则性公理：P()=1;可列可加性公理：若A1,A2,An 互不相容，则,一、概率的公理化定义,随机试验可大量重复进行.,二、确定概率的频率方法,进行n次重复试验，记 n(A)为事件A的频数，称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,P16 例（1）,
2、频率依赖于试验，不确定；概率客观存在，不依赖于试验。,试验1 要求1：计算机模拟10组抛均匀硬币试验，每组分别抛11,，20次。统计每组试验出现正面的频率。画出10组试验的结果散点图（i,f(i)），观察频率的变化，并对结果予以分析。要求2：计算机模拟10组抛均匀硬币试验，每组分别抛1000,2000，10000次。统计每组试验出现正面的频率。画出10组试验的结果散点图（i,f(i)），观察频率的变化，并对结果予以分析。,其中i表示第i组试验，f(i)表示第i组试验对应的频率。,排列、组合：n个不同元素中任取r个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!，0!=1.重复排列：nr
3、选排列：,三、排列与组合公式,组 合,组合：,重复组合：,关注的是每个元素被取到几次，所以可以考虑将取出的元素分为n 堆，第i 个元素放到第i 堆，故可将r个元素用n-1个挡板分为n堆，划分方法种数是：,加法原理,完成某件事情有 n 类方法，在第一类方法中有m1种方法，在第二类方法中有m2种方法，依次类推，在第 n 类方法中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,若一个随机试验(,F,P)具有以下两个
4、特征：(1)有限性。样本空间的样本点只有为有限个。即=1，2，n；(2)等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，即 P(1)=P(2)=P(n)。则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数,四、确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)此样本空间中的样本点等可能.2=(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)此样本空间中的样本点不等可能.,注意：古典概型中，一定要保证样本点的等可能性,例 N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格
5、品.(口袋中有M 个白球，NM 个黑球),常见模型(1)不返回抽样,从中不返回任取n 个,则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,此模型又称 超几何模型.,n N,m M,nmNM.,口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.,思 考 题,购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.,彩票问题幸运35选7,例,中奖规则,1)7个基本号码 2)6个基本号码+1个特殊号码 3)6个基本号码 4)5个基本号码+1个特殊号码 5)5个基本号码 6)4个基本号码+1个特殊号码 7)4个基本号码，或 3个基本号码+1个
6、特殊号码,中奖概率,中所含样本点个数：,将35个号分成三类：7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：,中奖概率如下：,不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6 p7,例1.2.4 N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,常见模型(2)返回抽样,条件：m n,即 m=0,1,2,n.,例 n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN),常见模型(3)盒子模型,求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入
7、 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=,生日问题,p20=0.4058,p30=0.6963,p40=0.8820,p60=0.9922,补例,六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.,解：用乘法原则直接计算,所求概率为,n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：用捆绑法。（1）n个人坐成一排，一共有n!种坐法。（2）先将甲乙两人看做一人，则一共有n-1个人，共有（n-1）！种坐法；然后两人再按顺序排好，一共是2！种方法，所以甲乙相邻一共有（n-1）！2！种坐法。所以概率为：,补例,补例1.2.3 n 个人围
8、一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解二：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P(A)=2/(n-1)。,解一：捆绑法得,n个人的圆桌排列有 种方式,(n-1)!,练习：P30 3,4(3),5,6,10,11,12,15,17,19,20,21,作业：1、将C,C,E,E,I,N,S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率是多少？2、P30 22,五、确定概率的几何方法,几何概型若 可度量性。样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；等可能性。落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关 则事件
9、A的概率为:P(A)=SA/S,例（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l（d）的针，求针与平行线相交的概率.,解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0 x d/2;0.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d/2.,P25例；P27例,A=“针与平行线相交”的充要条件是:x lsin/2.针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得,由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有
10、一些实验数据.,的随机模拟(MonteCarlo方法),蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率 分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1)一个顶点在平行线上;2)一条边与平行线重合;3)两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.,解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为 p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),P
11、c=2c/(d).因为 Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc 所以 Pa+Pb+Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得 p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+Pb+Pc)/2=(a+b+c)/(d).,练习1：电台整点报时，某人表停，等待校表事件不超过10min的概率是多少？练习2：P31 23，24，27,思考1：不可能事件概率为0；（）概率为0的事件为不可能事件；（）必然事件概率为1；（）概率为1的事件为必然事件。（）,思考2：若P(AB)=0,则（）A）A和B不相容 B）AB是不可能事件C）AB未必是不可能事件D)P(A)=0或P(B)=0,作业：P31 26,28,
