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1、第三章,多维随机变量及其分布,到目前为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.,飞机的重心在空中的位置是,但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而,需要用几个随机变量来描述.,如:在打靶时,命中点的位置是,由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,由三个随机变量(三个坐标）来,确定的等等.,因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量.,其处理思路及方法与一维情形相同,但形式较一维,复杂;学习时应注意与一维情形的对照.,设 为试验 E 的样本空间,若对 中,的任一基本事件 e,都有惟一确定的 n 个实数,X1(e),Xn(e)与之对应,则叫(X1(e),Xn(e),由于从二维推广到多维一般没有实
2、质性的困难,定义:,为 n 维随机变量,简记为(X1,Xn).,我们重点讨论二维随机变量.,二维随机变量一般用(X,Y)来表示.,1 二维随机变量的联合分布与边缘分布,一、X与 Y 的联合分布函数及边缘分布函数,二维随机变量(X,Y)的分布函数为,也叫 X与 Y 的联合分布函数.,几何表示:F(x,y)为随机点(X,Y),落在 xoy 面中区域,内的概率.,(X,Y)的分布函数具有:,等性质.,在二维随机变量(X,Y)中,X 的分布函数称为(X,Y)关于 X 的边缘分布函数,Y 的分布函数称为(X,Y)关于 Y 的边缘分布函数;,由联合分布函数可确定边缘分布函数,对此有:,关于 X 的边缘分布
3、函数为,关于 Y 的边缘分布函数为,进一步可定义 n 维随机变量(X1,Xn)的分布函数:,及关于 Xi(i=1,n)的边缘分布函数:,二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律,设(X,Y）为二维离散型随机变量，称,为(X,Y)的分布律，或 X与 Y 的联合分布律.,(X,Y)的分布律的性质:,可列表表示:,(1)非负性,(2)归一性,在二维离散型随机变量(X,Y)中,称,X 的分布律为(X,Y)关于 X 的边缘分布律,Y 的分布律为(X,Y)关于 Y 的边缘分布律;,由联合分布律可确定边缘分布律,对此有:,关于 X 的边缘分布律为,关于 Y 的边缘分布律为,注意两个边缘分布正好是表中列和与
4、行和,三、二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度,对二维连续型随机变量(X,Y)有:,f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,即:随机点(X,Y)落在区域,内的概率,为 f(x,y)在该区域上的积分.,或称为 X与Y 的联合概率密度.,f(x,y)为(X,Y)的概率密度,则,(1)非负性,(2)归一性,概率密度的性质:,(3)对 xoy 面上的任一区域 G,(4)在 f(x,y)的连续点上,在二维连续型随机变量(X,Y)中,X 的概率密度称为(X,Y)关于 X 的边缘概率密度,Y 的概率密度称为(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度;,由联合概率密度可确定边缘概率密度,对此有:,关于 X 的边缘
5、概率密度为,关于 Y 的边缘概率密度为,因为,解:,(1)依据分布函数的性质可得:,(2),故,解:,(1)由归一性可得:,故,解:,解:,四、两个常见的二维连续型随机变量的分布,(一)均匀分布,设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A;若二维随机变量,（X,Y）的概率密度为,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,例如:向平面上有界区域 G 上任投一质点，若质点落在 G,内任一小区域 B 的概率与小区域的面积成正比，而与 B 的,形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在 G 上服从均匀分布.,(二)二维正态分布,若二维随机变量（X,Y）的概率密度为,则称（X,Y）服从参数为,的二维正态分布.,记
6、作(X,Y),可以证明:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,则,若(X,Y),注意:由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.,4 随机变量的独立性,它表明:两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数,等于两个边缘分布函数的乘积.,用分布函数表示即:,可由事件的独立性引入随机变量的独立性,它是概率论中,的一个重要概念.,定义:若对任意的 x,y 都有,则叫随机变量 X与 Y 相互独立.,对二维离散型随机变量(X,Y):,对二维连续型随机变量(X,Y):,例:若,解:,由归一性得:,再由独立性列出其它式子,为此需确定边缘分布:,取一式,如,1,解得,解：,对一切x,y,均有,故 X 与 Y 相互独立.,
