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1、为思维而教：从外在表象走向本质建构以“认识方程的教学历程为例摘要：数学思维的发展可以有效提升学生的学习能力。笔者三年内三次执教 认识方程一课，以学会思维为目标，教学过程经历了从方程的外在表现到本质建 构的过程，经过思考发现指向思维的课堂，需要专业化教材解读，明晰数学概念 的本真；低结构教学活动，展开思维发展的课堂；个性化数学思考，确立思维提 升的支点。关键词：学会思维本质建构实践思考数学思维是以数学概念为基础，通过数学判断和数学推理的形式揭示数学对 象的结构和内在联系的认识过程。学生数学思维的发展，不仅可以提升学生数学 发现问题、分析问题与解决问题的能力，而且能够促进学生观察能力与感悟能力 发
2、展，。小学在学生数学素质发展中处于起步阶段，它是发展学生数学品质的关 键阶段。学生数学思维的培养将有效弥补小学生形象思维丰富、抽象思维不足的 缺陷，使学生在学习数学知识中不断反思，寻找并发现数学课程的一般规律， 以及掌握数学学习的一般方法，教会学生学会学习，从而有效提升学生数学品 质，使小学生数学思维提升具备可持续发展的潜力。如何更好的发展学生的数学思维？笔者三年内三次执教了认识方程一课，经 历了多次思考，思维的碰撞不断刷新了我的思考深度与实践路径。认识方程是苏 教版五年级下册的教学内容，是学生在小学阶段代数思维的第三次飞跃，从知识 上看学生并不太熟悉，从思维上看学生也不太习惯。在实践中，由最
3、初从方程概 念外在表象的教学，逐步走向方程概念的本质建构，笔者以认识方程的三次教学 过程为例，谈谈自己的思考。一、三次试教，由表及里，逐步走向概念教学的本质（一）初次尝试，定位于外在表象认知【课前思考】在教科书上方程是这样描述的：像这样，含有未知数的等式叫做方程。于是 我们围绕这个定义展开了方程教学，如何让学生准确认识方程这种外在特征呢， 我们想到了数学的分类思想，通过多种活动让学生自主分类，在分类的过程中比 较（等式，不等式，含有未知数的，不含未知数的）引导学生写出各种式子，从 而概括出方程的特征，并通过让学生比一比，写一写多种活动，强化学生对方程 特征的认识，达到我们预期的教学目标。【片段
4、1】师：你能用式子表示天平两边物体的质量关系吗？生:50+50=100 50V100 x+50100x+50 = 150X+50200 x + x= 200师：如果让你把这之前6个式子分类，应分为几类？为什么？生1:含有未知数和不含有未知数。生2：含有等号和不含有等号。师：老师也分了一下（等式和不等式），左右两边相等的式子就叫做等式， 而左右两边不相等的式子叫做不等式。师：你能把这些等式当中再分一分吗？生分成含有未知数的等式和不含有未知数的等式。师：仔细观察这一类等式和其他等式又有什么不同？（指向含有未知数的等 式）师：知道像x+50 = 100, x + x = 100这样含有未知数的等式叫
5、什么吗？生：方程师：说说什么是方程？你觉得这句话里哪两个词比较重要？（含有未知数、 等式）师：你能根据黑板上的方程特征，再模仿写一些这样的方程吗？将学生写的方程记录在黑板上，并让学生做出判断。说出判断的依据。【课后反思】通过这样的方式教学，我们发现学生的确对于方程的特征熟记于心。学生在 随后的课堂习题中，判断方程正确率也很高。但是也出现了问题，在课堂教学中， 学生根据方程的描述写出了好多类似这样的式子“ x+100=x+200”“y=100+50” 引发了笔者的深思，写出这样没有意义的方程能代表学生学会了吗？方程的特征 重要吗？学生的思维得到发展了吗？经过讨论我们发现学生写出这样的方程，是 因
6、为只掌握了方程的特征，却不知道方程的价值和意义在哪里，他们的认识仅仅 停留在外在表象上。没有指向学生思维的本质，学生的思维在课堂中没有得到发 展。（二）二次尝试，定位于建立关系内核【课前思考】“含有未知数的等式叫做方程”，这样的论述是对方程进行观察、比较、归 纳，从方程的外形特征作了静态的描述。如果让学生仅仅从最后的样子去看方程， 显得很表面化，表象认知是无法让学生真正洞悉方程的内在特质，不经过方程的 建构过程，很难理解方程的内在本质。于是，我们开始了新的探索。最终我们读 到：“方程的本质是描述现实世界中的等量关系”。经过对方程定义的重新解读， 大家一致认为：带着未知数把找到的相等关系表示出来
7、，这才是真正意义上的方 程。而这恰恰与“含有未知数的等式”相吻合，一是都有未知数，二是把相等关 系表示出来就是等式。所以找到等量关系是认识方程的第一步。由此，我们进行 了新的尝试。【片段2】1. 天平引入提问：认识吗？出示天平图，是什么？师：小明在天平的两边放上砝码，你能说出它们之间的数量关系吗？你能用 式子表示吗？生：50+50=100。师：为什么可以用50+50=100这个式子表示呢？生：天平左右两边平衡。2. 观察等式师：像这样表示左右两边相等关系的式子，我们把它叫做等式（板书）。师：小明从天平的左边拿走了一只砝码，这时候天平平衡吗？生：不平衡。师：现在该怎样表示左右两边物体的质量关系呢
8、？生：50 x 3 = 15 三破5 - 20j x 4 = 163 x ()=12 6 x() = 18年级三年级图6内容到中学的方程内容，基于整个初等数学体系，来把握方程的本质（如图6）。2.思想方法视角，把握对学习路径的定位郑毓信教授说每一个知识背后都照应的思想方法，所以我们在备课的时候， 一定要看这个知识背后它蕴含的思想方法是什么？在课堂教学当中要充分的凸 显出来。史宁中教授提出，数学基本思想方法有3个：抽象、推理、建模。方程 这一知识背后就蕴含了抽象，建模的数学思想。列方程首先会对现实中的情境进 行数学抽象，在现实情境中抽象出等量关系才能写出方程。对于生活中的不同情 境，我们还可以列
9、出同样的方程，这就是一种数学建模的思想。找到了这两种思 想方法，学生本节课的思维学习路径就应该是从相同的情境抽象的到不同情境建 模。（二）低结构教学活动，展开思维发展的课堂低结构化教学活动的动机主要来自学生的需要活动，旨在解决问题产出学生 学习需求；在学会思维数学课堂中，以学生的思维为逻辑，展开思维发展的数学 课堂，我们应当设计贴近学生生活的，符合学生思维逻辑的教学活动。1.问题化活动引发思维动因图7在教学活动中给予学生问题情境，设计活动时，贴近学生的学习需求，找到 思维的生长点。首先要有问题情境，问题情境是思维发展的动因，在本节课中导 入问题是“为了测量这个物体重量我们该怎么办？”引发学生探
10、究欲望，通过微 视频展现调节天平的平衡，让学生知道这个物体的质量，感受等量关系。2.实践化活动架设思维桥梁3.情境化活动经历思维建模小学生的思维是形象的、直观的，在本节课中，我们充分让学生动手操作思 考，在学生形象思维与抽象思维 之间架设桥梁。首先借助天平平 衡原理，可以很直观的让学生感 受平衡、感受等号左右两边相等 的关系，再让同学操作的过程中 感受天平从不平衡到平衡的过 程（如图7），学生观察天平的 状态来写式子，从而迁移到数学中不等式与等式。其次本节课中让学生自主分类， 把7个式子进行分类，在分类的过程中感受方程的外在特征（如图8）。情境理论认为，知识是情境性的，学习是知识与情境动态相互
11、作用的过程。 好的问题情境可以充分激发学生的学习动机，成为思维发展的依托。课堂中的情 境不可能是完成真实、自然、日常的社会情境，更多的是人工创设的工具性情境， 由于相对真实的生活情境，更有利于学习的发生。充分利用现实情境，根据等量 关系列出方程，经历建模过程。方程，对五年级学生来说，不仅是外在形式上的 认识，更要让学生感受它在解决实际问题过程中建立模型的过程。教学中，教师 不仅要组织学生观察天平的变化现象，更要引导学生用语言描述这一现象，使他 们从现实的情境中抽象出文字语言表述的等量关系，并用数学表达式来表示，并 在这一过程中感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程。 更关键的
12、是，教学中要精心设计一些数学问题，让学生逐步摆脱天平的表象，在 数学问题中自己寻找“心中的天平”，鼓励他们用个性化、多元化的方法将实际 问题用方程表示出来，实现从算术思维向代数思维的过渡，获得对模型思想的深 刻感悟。4. 可视化活动表达思维过程课堂教学中，充分让学生表达，让学生尝试把自己的思维表达出来。通过口 头或者书写的方式把思维表现出来，学生的思维看得见，教师了解到了学生思维 发展的过程，才能有效的展开课堂教学。图9为本节课中尝试让学生表示方程和 等式之间的关系，学生利用自己喜欢的方式表达出头脑中的思维过程。1. 设计挑战性学习任务，找到思维发展的跃迁点面对新知识或新问题，学生能利用已有知
13、识经验去解决时，心理上处于一种 平衡状态。一旦当学生利用现有知识经验无法解决不一致时，认知冲突就产生了， 于是数学思维就产生了动因。吕林海教授在钟楼思维课堂教学活动中提出：“学 会思维”钟楼课堂要有思维的“挑战度”，有思维的“跃迁点”。本节课中经过 专业化的教材研读找到了学生学习认识，也是学生思维发展的3个跃迁点：1什 么是方程；2怎么写出方程；3方程的价值是什么，对应的设计出了相应的挑战 性的学习任务，让学生在活动中充分思考，促进学生思维的发展。2. 开展多元化实践活动，找到思维发展的运动场教学时不能再像以往的课堂一样只强调方程的外在形式了，而要使学生在现 实问题中经历数学建模的过程，以凸显
14、知识的本质，促进数学理解，针对上面的 几个跃迁点，设计多个教学活动来解决这个问题，充分让学生体验感受。活动1： 根据天平写式子（感受等量关系）活动2：把6个式子进行分类（感受方程 的特征）活动3：表示天平与等式之间的关系（感受方程与等式之间的关系）。在这样的三个活动过程中，让每一个学生充分体验参与数学活动，使得每位同学 的数学思维得到发展。3. 推进整体化回顾反思，找到思维发展的修缮站传统的课堂，经常会问，今天这节课你有收获吗？你有哪些收获？学L , 一-|占咨 4上11 -a生你一言我一语，每人回答了本节课 的一部分，最后每个学生拼凑出整节 课的知识体系。这样的拼凑没有指向 每一个学生认知结
15、构的完善，因而知 识是点状，只是知道，而没有建构。所以整节课堂里面的教学指向点状 的知识，而不是指向完善的认知结 构。而在本节课的最后，笔者同样询图10问同学们今天学习了什么？把你的想法用自己喜欢的方法记录下来，比较两个同 学的想法有什么不同？（如图10）那你能不能把你的记录的完善一下？每一次 的总结都指向一一结构！指向思维。学生学会了树形图、学会了思维导图，学会 了表格，学会示意图来进行课堂结构的总结，那才真正学会思维。总之，教师的教学要顺应儿童的思维，从不断的反思改进中，合理有效地选 择教学内容，为学生思维而教。让学生在真实开放的学习活动中，充分的操作感 受，不断积累数学思维的活动经验，以问题为引领帮助学生更全面、更合理的思 考，从而提升思维的品质。追求孩子真实的学习状态，让学生在自由的探索中成 长呼吸，这才是学会思维的数学课堂。【参考文献】【1】钱蔚.建立模型把握本质 小学数学教育J，2015.1【2】严育洪.把有“思想”的课，上的“有思想”小学数学教育J，2016.3【3】易玲倩唐光东.由表象到本质的蜕变小学数学教育J，2016.9【4】李红霞“三辨”方程，让认识直抵本质 小学教学研究J，2018.7 【5】潘小福小学数学教材的专业化解读江苏凤凰教育出版社，2017.6
