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1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 g纣 的式子叫二次根式，其中&叫被开方数，只有当就是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】I x - 5 0解题思路：式子 a (aN0),上 八，x = 5 , y=2009,则 x+y=20145 - x 0举一反三：1、若 S二1 一 !一X = (x + y)2，则 x-y 的值为()A.-1 B. 1 C. 2 D. 32、若x、y都是实数，且v=v2x- 3 +、3 -2x + 4，求xy的值3、当a取什么值时，代数式2a +1 +1取值最小，并求出这个最小值。已知a是K整数部分，b是的小数部分，求a + 上的值。 若t3的
2、整数部分是a,小数部分是b,则3B、xN3C、x4D、xN3 且 x手42、使代数式 0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. G-a)2 = a0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数 式写成完全平方的形式：a = 3云)2(a 0)|a(a 0) 、.,3. 捐2 =lal =V、注意：(1)字母不一定是正数.a(a 与Ja)2=aa 0)的区别与联系(1) *3表示求一个数的平方的算术根，a的范围-a(a 0)是一切实数.(2)(如云)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) 云和G- a)2的运
3、算结果都是非 负的.【典型例题】E”4MS【例 4】若 la 一 2 + 后 4- 4)2 = 则 a - b + c = .举一反三：1、若（m 3 + （n +1）2 = 0 ,则m + n的值为2、已知x, y为实数，且x 1 + 3（y 2）2 = 0，则x 一 y的值为（）6、当aVl且a丰。时，化简 a2 a3、4、A. 3B.- 3C.1D.- 17、已知a ）05 =A.2bB. 2bC.2aD. 2a匡（公式a）2 = a（a 0）的运用）举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:4baoa 1 + J (a - 2)2【例5】化简:1 + （Ja 一 3）2的结果为（)
4、A、42aB、0 C、2a4D、4举一反三：在实数范围内分解因式:x 2 3；m 44m 2+4 二1、, x 2 2逝x + 2 =化简：富-会（-福）已知直角三角形的两直角边分别为任和、，则斜边长为【例8】化简|1- Jx2 8x +16的结果是2x-5,则(A) x 为任意实数 (B) 1 WxW4 (C) xN1(D) xW1x的取值范围是（举一反三：若代数式侦（2 a）2+（a 4）2的值是常数2，则a的取值范围是（）a(a 0)的应用) a(a 0)D. a = 2或a = 4【例6】已知x2，则化简2x2-4x + 4的结果是【例9】如果a +逐2a +1 = 1 ,那么a的取值
5、范围是（A.a=0 B. a=1C.a=0 或 a=1D.aW1A、x 2B、x + 2D、举一反三：1、如果 a + a2 6a + 9 = 3那么实数a的取值范围是举一反三：1、根式（一3）2的值是（）Aa 0B.a 3;D.a 3A. -3B. 3 或-3C.D. 92、若x 3）2 + x 3 = 0,则x的取值范围是（2、已知a 3(B) x 3(D)A.aB.aC.3aD.3a则 ：（2 a）2 ；（a 3）2 等于（【例10】化简二次根式a ：一 土 的结果是 a 2(A) a 2(B) t a 2(C) Ja 2(D) -a 2A. 5 2aY YB.1 一 2aC. 2a 一
6、 5 D.2a 14、若 a 3V0,则化简 *a2 6a + 9 + |4 a|1、把二次根式a的结果是:-1化简，正确的结果是I a(B) 1(C) 2a75、化简 4x2 4x +1 271) 得(A) 1(D) 72aA.0时,;(a 1)【知识要点】1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号.2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的 两个根式。【典型例题】【例11】在根式1） M + b2 ；2| ；3）x2-xy
7、;4）t27abc，最简二次根式是（）3、如果最简二次根式3a 8与寸17 2a能够合并为一个二次根式，贝lj a=知识点四：二次根式计算一分母有理化【知识要点】A. 1) 2)B. 3) 4)C. 1) 3)D. 1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三:1、顽,、而上1八40b2,$4,己7（a2 + b2）中的最简二次根式是.V 22、下列根式中，不是最简二次根式的是（A. /7C. 13、下列根式不是最简二次根式的是（）B.(2x +1C.TD. J0.1y1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积
8、不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化 因式确定方法如下：单项二次根式:利用 腿 * = a来确定，如:Va与a，、/a + b与a + b , v a - b与.a - b 等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a +展与a -切，打+ 与拓4b, a b)(1)48-点宁 45a2b【例14】把下列各式分母有理化【例15】把下列各式分母有理化:【例12】下列根式中能与3是合并的是（）B. v27(1)=2 1(2)举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）举一反三：1、已知x = -一M ,2 +必y = 2 +*3，求下列各式的值：(1)
9、(2) X2 3xy + y22 寸3x yB、C、：a2b和 ab2d、 21积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。4ab 二崩 y/b （aNO, bNO）B、x - 0 C、0 - x - 2 D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】2.a ,、：b = yab . (aNO, bNO)3.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
10、需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。:a x：a弟r(aN0, b0)4.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。【典型例题】a段二*b (aN0, b0);【例20】计算(1) 22 1 /48 + 2147247【例21】(1) 3(x y +(2)a b +a fb a + b a 一 b【例17】计算（1）36x256(3)(4)(4)+ 4b a(6)(7)(8)+ 0，b - 0)9 x(x 0, y 0)5 x169 y 2(x 0, y 0)知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求
11、值【知识要点】在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;【典型习题】【典型例题】【例22】比较3为与5、3的大小。（用两种方法解答）【例23】比较二与的大小。 3-1*2-11、：ab 5 - b3、2、（2/12 +4-.48 ）、2 一4、（32 + ） 必-A;62 +招【例24】比较很5-寸14与七14 -、13的大小。【例25】比较互-寸6与显-志的大小。【例26】比较寸7 + 3与如87 - 3的大小6、（3 + 2昌
12、-（4 +舌）（4 冬）5、（2 * 3 + 3.巨-而）（2希-3.巨 +、；6 ）7、（2 6 5）10（2 0）325 V m-4“ +4-2整 +1【例21】1.已知：1罚/，求 一M + R 一 的值._必+1 尸+天+i箭-展y +4嫔2.已知2,求尸 的值。3.已知：尸+婴-4盘-处+1 = 0,求 妇应 的值 _ J/-9 + 也-营-24.求也-修+*+逐的值.5.已知工、 是实数，且并，求公+O的值知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当a 0, b 0时，如果a b，则侦a 4b ；如果a b，则ta 0,b 0时，如果a2 b2，则a b ；如果a2 v b
13、2，则a 0 = a b :a -b 0 a 1 o a b a 1 o a 0, b0时，则：b；b一、概念(一)二次根式1、列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:克、33、-、侦x (x0)、七0、42、-豆、侦工+ y xx + y(xNO, yD0).(二) 最简二次根式1. 把二次根式、：y (y0)化为最简二次根式结果是().A.飞(y0)B.寸新(y0)C.干(y0)D.以上都不对2. 化简 Jx4 + x2y2 =. (xN0)3. a J-B 化简二次根式号后的结果是.a 24. 已知xy0,化简二次根式x. -y的正确结果为.% 2(三) 同类二次根式1. 以下二次根式
14、：7-2 ， M ；2 ，无 中，与3是同类二次根式的是().A.和 B.和C.和 D.和2. 在职、-V75a、279a、应5、-43a3、3扼2、-2 J-中，与是同类二次根式的有33a 83. 若最简根式3a-b4a + 3b与根式2ab2 b3 + 6b2是同类二次根式，求a、b的值.4. 若最简二次根式|y3m2-2与快4m2-0是同类二次根式，求m、n的值.(四)“分母有理化”与“有理化因式”1. J2+的的有理化因式是； x-JT的有理化因式是.-Jx +1 - Jx -1的有理化因式是.2. 把、列各式的分母有理化二次根式典型习题集i123 3+q(1.-5 -1 ；(2) 1
15、 + 23 ； 而-技；(4) 3占-4技-二、二次根式有意义的条件:1. （1）当X是多少时，寸3 -1在实数范围内有意义（2）当x是多少时,（3）当x是多少时,2 + 3 +-7在实数范围内有意义 x +12 + 3一、，+X2在实数范围内有意义x(4)当时，Tx + 2 + v!- 2x 有意义。2. 先化简再求值：当a=9时，求a+71-2a + a2的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式二a+p（1-a）2 =a+ （1-a） =1；乙的解答为：原式不+书（1一 a）2 =a+ （a-1） =2a-1=17.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.3. 若 | 1995-a |
16、 +、a 2000 二a,求 a-19952的值.2.使式子侦-（x-5）2有意义的未知数乂有（）个.A. 0 B. 1 C. 2 D.无数3.已知 y= t2 x +*x 2 +5,求的值.y4.若底+ 43有意义，则V2=5. 若、.项+ 有意义，则m的取值范围是_m +16. 要是下列式子有意义求字母的取值范围11 x（2）、产 x（1） 3 一 x(4)x+3+ 8x（提示：先由a-2000N0,判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）4. 若-3WxW2 时，试化简 | x-2 | + - （x + 3）2 + ： x2 10x + 25。5. 化简a、：1的结果是（）.A.
17、侦aB.展 C. -寸aD. -a6. 把（a-1）、； 1中根号外的（a-1 ）移入根号内得（）.A. a 1B.如 1 aC. - x a 1 D. 一 t1 a五、求值问题：1.当 x= J15 + 板7 , y=、;15 - * 7,求 x2-xy+y2 的值 、 x2+v 2-x(6) %x22x+1三、二次根式的非负数性1. 若 pa +1 + :b 1 =0,求 a2004+b2004 的值.2. 已知(x y +1 + x 3 =0,求 xy 的3 .若。x y + y 2 4 y + 4 = 0 ,求 xy 的值。2. 已知 a=3+2t万,b=3-2v2，则 a2b-ab2
18、=3. 已知 a= 3-1,求 a3+2a2-a 的值一 四、寸a2 = | = 0aV0的应用1. aN0时，展2、疽匚0云，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）.A. ；a2 =：(a)2 N-；a2C. ；a2 J:(a)2 气:(a)2 fa2D. - (a2 *a2 =(a)24.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0,求(3 x；9x +y2 ： ) - (x2 ?5x)的值.5.已知J5x,求（0, n0) m 2m3m m3 2m3m2 - 3n23m+n-T(2a 22X) a 2a2,、(a0)m - n,1.、x +1 + x2 + x x +1 - x2 + x
19、 ,7.当x二 时，求+ 的值.v2 一 1 x + 1 、； x 2 + xx + 1 + Kx 2 + x（结果用最简二次根式表示）a 3.4 a b a + b 2.：ab a b a 、：b8.已知 x 2 3 x +1 = 0,求x2 + 2 的值。x 25赤-5 x(y + yx六、其他1. 等式Jx +1 x x 1 = wx2 1成立的条件是（）A. x1 B. xA1C. -1WxW1 D. x1 或 xWT19 x 9 xx2 5 x + 42. 已知=,=，且x为偶数，求（1+x）的值.x 6 x 6x2 13. 计算（忐 +.xr）（&-xT）的值是（）.A. 2 B.
20、 3 C. 4 D. 1&x - 2）2 = x 24. 如果，则x的取值范围是。M -7）25. 如果 x 7 ，则x的取值范围是。6. 若； a 2 =（履）2，则a的取值范围 。7. 设 a= v3 侦2 , b=2 *3 , c=r5 2，则 a、b、c 的大小关系是8. 若04奇是一个整数，则整数n的最小值是。9. 已知、直1的整数部分为a,小数部分为b,试求（11 + aL +1）的值七计算6.7、a + 2 J ab + b |y/ay/b|faa - b a + 4ab b ab ) b + -fab2 *32 +侦3 _,已知x = = , y =，求下列各式的值：（1）x + y(2) x2 3xy + y2 xy3.如图，方格纸中小正方形的边长为1, AABC是格点三角形，求：（1） AABC的面积（2） AABC的周长；（3）2.如图，扶梯AB的坡比为4；3,滑梯CD坡比为1： 2, AE=6cm，BC=5cm，-男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后 从滑梯滑下到D,共经过多少路程
