二次曲线的射影理论.docx

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1、第五章二次曲线的射影理论本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论 二次曲线的射影性质及其分类。1二次曲线的射影定义1.1二次曲线的射影定义定义1.1在射影平面上，若齐次坐标（x1，x2, x3）满足下列三元二 次齐次方程 a x x = 0 （a = a ）ij i jijjii, j =1其中aij（i，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集 合称为二阶曲线。二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：、X3)a11a12a13X1x2a21a22a23x2k a31a32a33Jkx3J1其中（aj用A表示叫系数矩阵，用I A或也表示系数行列式。定理1.1两个不

2、同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二 阶曲线。证明在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为a+ 入。=0，a +入，伊=0，由于它们是射影对应，所以入，入满足：a入入 +b入+c入 +d=0 （ad bc尹0）.由以上三个式子消去入，入得a（言）（京）一贝言）-N ）+ d = 0, p p p P即aon/ + dPP，_ b 以。，一 co/。= 0.因为a，P，a，伊都是X，x2，x3的一次齐次式，所以上式是关于X，x2, x3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。而且a=0与P=0的交点和a =0与伊=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两 个线束中心也在这

3、条二阶曲线上。定理1.1的逆定理也成立，定理1.1中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊 性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影 对应线束的中心。定理1.2设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直 线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投 射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。证明设二阶曲线是由以O, O为中心的两射影线束O(P)和O,(P)所生成。在此二阶曲线上任意取定两点A和B，设M为曲线上动点，我们只须证明出A (M) XB (M)即可。如图所示，设AM与OP，OB交于K，B交于点=K，BM 与 O P，O A

4、A，于是O(A，B，PM) O(A，B，P，M)所以O(A，B，PM) (A，K，M)(A，B，KM) O(A，B，P，M)所以(A，B，KM) (A，BK，M)由于两底的交点M是自对应点，因此(A，B，K，M) (A，B，K，M)所以两点列对应点连线交于一点，也即AA，BB，KK共点于点S。S为一定点，这说明当M点变动时，OP上点列(K)与O, P上点列(K) 成透视对应，对应点连线KK通过一个定点S,所以有 B (M)A (M) OP (K) O P (K)A (M) B (M)推论1平面内五个点，若其中任意三个都不共线，则这五个点可确 定唯一一条二阶曲线。推论2若二阶曲线上任一点向此曲线

5、上四定点连四条直线，则此四 直线的的交比是常数。例1求两个成射影对应的线束：X1+Xx3=0 与 x2 四乂3=0 以+四=1)所构成的二阶曲线的方程。解因为A+呻1，所以呻1一入，于是两线束可以写成：(x -Ax = 0x -(1 -A)x = 0即Jx -Ax = 0x - x + Ax = 0233消去x得xx13 = 0x - xx3整理得二阶曲线的方程为定义1.2在射影平面上，成射影对应的线束的对应直线的交点的集 合称为二阶曲线。注意 上述定义包含了退化的情况：如果两个成射影对应的线束是透 视的，此时二阶曲线退化成两条直线，一条是透视轴，另一条是两线束中 心的连线。定义1.3在射影平

6、面上，若齐次线坐标%，u2, u3满足下列三元二 次、a uu = 0 (a = a )iji jijji的直线的集合叫做二级曲线。其中ajjG, j=1, 2, 3）为实数且不全为零。二阶曲线与二级曲线统称为二次曲线。定理1.1 两个不同底的成射影对应的点列，它们对应点的连线的 集合是一条包含两个底在内的二级曲线。定理1.2 设一条二级曲线是由两个不同底的成射影对应（非透视 对应）的点列的对应点连线构成的。则二级曲线上任意两条定直线与二级 曲线上的直线相交，便可得到以这两个定直线为底的成射影对应的两个点 列。推论1 平面上无三线共点的任意五条直线唯一确定一条二级曲 线。推论2 二级曲线上任意

7、一条直线与曲线上四条定直线相交所得的 四个交点的交比值是常数。例2 如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则她们也同时外切于 条二次曲线。证明 三点形ABC和三点形A B C,内接于二次曲线(C), 设ABAB C =D,AB HA C =E,ABAB C =D,A BAAC=E,则C(A, B, A, B) X C (A, B, A, C)所以(A, D, E, B) X C(A, B, A, B)X C (A, B, A, C)X (E, A, B, D)(A, D, E, B) 7 (E, A, B, D)由定义可知，这两个点列对应点连线AC, BC, C A, B C连同两 个点列的底A

8、B, A B属于同一条二级曲线(C),亦即三点形ABC 和三点形A B C的边外切一条二次曲线。1 .2二阶曲线与二级曲线的关系我们先来讨论二阶曲线与直线的相关位置设两个点P, Q坐标分别为P (p1, p2, p3), Q (q1, q2, q3),则直线 PQ上任意点的坐标(x1,x2,x3)可以写成x. = p. + Xq.(i=1, 2, 3)直线PQ与二阶曲线 | |泛 a x x = 0 (a = a )ij i jijjii, j =1的交点坐标满足* a (p +Mp )(p +Xq ) = 0ij i i j ji, j=1即人 2 a p p = (p , p , p )

9、Aij i j123i, j=1 a q q + 从* a pq +*a p q ) + *a pp = 0 ij i jij i jij j iij i ji, j=1i, j =1i, j =1i, j=1Ixx2顷3 J若点Q不在二阶曲线上，则上式是关于X的二次方程，为了书写简便， 我们引进下列记号：S 三Ea xx = (x ,x ,x )A ij i j 123Sppi, j=1 a pq = (p , p , p ) A q ,S三 pqij i ji, jTS 三 a q pqpij i ji,jT=(q , q2, q3)A p三 a px = (p, p, p3) Aij i

10、 j i,jTf舟尤顷3 /由于 aij=aji，从而 Spq=Sqp。若（p，p2，p3），（q1，q2 x3）是变数，则S为二次式，Sp与Sq为一次式，Spp三 a q x = (q , q , q ) ASqij i j 123i,jTq3）为常数，（X，x2, Sqq与Spq为常数。采用以上记号后，关于入的二次方程可以写成S X2+2S X+S = 0当Spq2S S 0时1直线与二阶曲线相交于两个实点，称为二阶曲 线的割线；当 S 2 S S 0 时，当 Spq2 Sqq Spp=0 时，阶曲线的切线。卯pp（*）qq pp直线与二阶曲线相离；直线PQ与二阶曲线的两个交点重合，称为二

11、以下求非退化二阶曲线上一点的切线方程。（1）设点P（p1,p2,p3）在二阶曲线上S=0上，则Spp=0，从而方程（*） 因为过点P的切线与二阶曲线有两个重合交点，所以另一 x1，x2，x3），由（*）式可得P点有一个根为0。个根也必为0，若将Q的坐标改写为（处切线方程为：Sp=0，即以P（p1,p2,p3）为切点的切线方程为即：Sp= (P1p 2p3)Ax（2）若点P不在二阶曲线上，设点Q为过P的切线上任意点，则PQ 交二阶曲线于重合点，因此（*）式有两个相等的实根，所以S 2=S -Spp, 若将Q的坐标改写为（X】，x2, x3），那么以Q为动点的轨迹的通过P的 切线方程为：S S =

12、 S 2这个方程表示两条切线。当pP点在二阶曲线上时，二者重合为一条直 线：Sp=0。例 3 求二阶曲线 6x 2 -x 2 -24x 2 + 11x x = 0 的经过点 P （2, 0，1） 1232 3切线方程。解 将点P的坐标代入二阶曲线方程，得S =0所以P点在二阶曲线上，切线方程为Sp=0(261)00V0-1110112-24也即24x + 11x - 48X = 0为所求切线方程。例4求通过二直线11，3，1和m1，5，1交点且属于二级曲线 4u12+u22-2u32=0 的直线.解通过二直线l1, 3, 1和m1, 5,1交点的直线的线坐标为1, 3, 1+入1, 5,1=1

13、+入，3+5 入，1一入若此直线属于二级曲线4u12+u22 2u32=0,则有4 （1+入）2+ （3+5入）2 2 （1一入）2=0 即27 入 2+42 入+11=0解得入二1/3,入二11/9所求直线的坐标为1, 2, 2和1,14, 10下面讨论二阶曲线和二级曲线的关系。定理1.3一条非退化的二阶曲线的切线的集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条非退化的二级曲线的切点的集合是一条二阶曲线。证明 （1）已知非退化二阶曲线：S 三史 a x x , （a. = a.） I a. I 尹 0.ij i / iJ J】 iji, j=1若P （p1, p2, p3）是它的一条切线u】，u2,

14、 u3的切点，则切线方程 为Sp=0,于是有a p + a p + a p a p + a p + a p11 1122133 -1 1222233uua p + a p + a p , 1322333 ku3其中k为非零常数，所以有a p + a p + a p 一 ku = 011 112 213 31 a p + a p + a p 一 ku = 0（1）21 122 223 32a p + a p + a p 一 ku = 031 132 233 33又因为P点在切线%, u2, u3上，所以有u p + up+ u p = 0(2)1 12 23 3从（1），（2）消去 p1，p2,

15、p3,得aaa u1112131aaa u2122232 = 0aaa u3132333uuu 0123将这个行列式展开得A uu 0ijiji, j =1其中A.为a.在A中的代数余子式，而且A.=A.,I Aijl=la.|20o当切线u1，u2，u3变动时，上式是含有流动坐标u1，u2，u3的方程， 它表示一条非退化的二级曲线。我们称它为二阶曲线所对应的二级曲线。3(2)对偶地，非退化二级曲线：/ a uu = 0 (a = a )i, j=1所对应的切点方程为,，aaaX1112131,，aaaX八2122232 =。,，aa XaX3132333XXX0123展开后得A x x=0i

16、j i ji,j=1其中a，为在|I中的代数余子式而且A，_A，| A，|_|2其中 A. 为a.-4在1气中 的代数余子工1，而A. An, Au Ha.|2尹0，这是二级曲线任意一条直线上切点所满足的方程，表示一条非退化的二阶曲线。我们称为二级曲线所对应的二阶曲线。 2 Pascal 和 Brianchon 定理帕斯卡(Pascal)定理(1640) 对于任意一个内接于非退化二阶曲 线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。这条直线称为帕斯 卡线。布利安桑定理(Brianchon) (1806) 对于任意一个外切与非退化的 二级曲线的简单六线形，它的三对对顶点连线共点。这个点称为布利

17、安桑 点。定义2.1 如果一个n点形（简单或完全的）n个顶点都在一条非退 化的二阶曲线上，则叫做二阶曲线的内接n点形（简单或完全的）。对偶地可以定义二级曲线的外切n点形（简单或完全的）。帕斯卡定理的证明证明设简单六点形123456，其三对对边的交点分别为L，M，N，其中 L=12 A45，M=23 A56，N=34 A61，设 16 A45=P，56 A 34=Q。以1，3为中心，分别连接其它四点，则有1 （2， 4， 5， 6） X3 （2， 4， 5， 6）另外还有，1（2，4，5，6）X（L，4，5，P）3（2，4，5，6）X（M，Q，5，6）所以（L，4，5，P）X（M，Q，5，6）由

18、于两射影点列有自对应点5，因此（L，4，5，P）X（M，Q，5，6）所以LM，4Q，P6三线共点，但是4Q，P6交于点N，于是L，M，N三 点共线。帕斯卡定理的逆定理定理2.1若简单六点形的三对对边的交点在一条直线上，则此六点 形必内接于一条二阶曲线。证明将帕斯卡定理的证明逆推即可。布利安桑定理是帕斯卡定理的对偶命题，由以上两个定理的证明可知布利安桑定理及其逆定理的都成立。下面我们来考虑帕斯卡定理的特殊情况：(1) 五点形情况：此时将五点形看成是六点形中有一对相邻顶点重合 的情形，二相邻顶点的连线变成重合点的切线。此时，帕斯卡定理仍然成 立。定理2.2内接于一条非退化的二阶曲线的简单五点形，一

19、边与其所对 顶点的切线的交点，以及其余两不相邻的边的交点，三点共线。(2) 四点形情况：此时将四点形看成六点形中有两对相邻顶点重合的 情形，则有定理2.3内接于一条非退化的二阶曲线的简单四点形，两对对边的交 点及其对顶点的切线的交点，四点共线。定理2.4内接于一条非退化的二阶曲线的简单四点形，一对对边的交 点与另一对对边中每一条与其对顶点的切线的交点，三点共线。(3) 三点形情况：此时将三点形看成六点形中有三对相邻顶点重合的 情况，则有定理2.5内接于一条非退化的二阶曲线的三点形，其每个顶点处的切 线与对边的交点，三点共线。对偶地可以得布利安桑定理的特殊情况例1设共面的两个三点形ABC与A B

20、 C是透视的，求证六条 直线AB ，AC，BC，BA，CA，CB属于同一条二级曲线。证明考虑六线形AB CA BC，其对顶点连线AA，BB，CC三线共点O,根据布利安桑定理的逆定理，此六线形外切于一条 二级曲线，亦即直线 AB ， B C，CA， A B， BC， C A 属 于同一条二级曲线。例2已知二阶曲线上无三点共线的五个点，求作该二阶曲线上的其 它点。解 设已知五点为：1，2, 3, 4, 5，设边12与45交于L，过L任作 一条直线a，23交a于点M，34交a于N，连接5M与1N交于点6，由 定理2.1，知点6在12345所在的二阶曲线上的点，当直线a变动时，就 得到这条二阶曲线上的

21、其它点。3极点与极线，配极原则3.1极点与极线定义3.1 给定二阶曲线（c），如果P, Q （P不在（c）上）的连线 与二阶曲线（c）交于两点M1，M2，且（M1M2，PQ）=1,则称P, Q 关于二阶曲线（c）调和共轭，或称点Q与P关于二阶曲线（c）互为共轭 点。定理3.1不在二阶曲线上的两个点P （p1，p2，p3），Q （q1，q2，q3） 关于二阶曲线S三a xx = 0,成共轭点的充要条件是i, j=1Spq三 =0，i, j =1证明设直线PQ与二阶曲线S三a xx = 0,的交点为M，M， ij i j12i , j = 1于是M1，因为M2的坐标可以写成：M1（ R + X1

22、q.），M2也 + X2 q.）， i=1，2， 3、人（PQ，M1M2）=寸2所以PQ成调和共轭，即力质12也即人+人=0于是在二次方程SqqX2+2SpqX+Spp= 0中由根与系数的关系，得、+气=0 的充要条件为S = i3 a p q = 0i , j = 1定理3.2不在二阶曲线上的一个定点关于一条二阶曲线的调和共轭 点的轨迹是一条直线。证明 设一阶曲线的方程为：S三泛a x x =0,设定点P(P1, p2, p3) ii i j123i, i=i关于S=0的调和共轭点为Q (xx2，x3),根据定理3.1,P, Q互为调和共轭点的充要条件为：S = a p q = 0i, i

23、=1因为Q(x1, x2, x3)为动点，所以有S =0,这是关于x1, x2, x3的一次齐次方程，它表示一条直线。定义3.2定点P关于一阶曲线的共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于此一阶曲线的极线，P点叫这直线关于此一阶曲线的极点。规定：若P为一阶曲线上点，我们约定：点P的极线为一阶曲线在P点处的切线。由以上讨论可知，平面上任意一点P关于一阶曲线S三a x x = 0的i, i =1极线方程都为：Sp=0。定理3.3每条直线对于一阶曲线总有确定的极点。证明设直线的方程为1： u x + u x + u x = 01 12 23 3若点P (p1, p2, p3)是直线1关于一阶曲线

24、S = axx = 0, (a = a ,1 a I。0)ii i iii ii iii, i=1的极点，由极线公式有a p + a p + a p a p + a p + a p -4 1122133 = 1 1223=uuap+ap+ap ,C11CCCCCC hj _L _Lj j j /va p +a p + a p -ku =01111221331 a p +a p +a p -ku = 02112222332a p +a p + a p -ku = 0v 3113223333因为IAI尹0,所以方程组有唯一解，即极点P唯一确定。(1, 一i, 0)关于二阶曲线3x2 + 5%212

25、+ %2 + 7x x +4x x +5x x = 03的极线。解Sp=(17/2-1 0) 7/2 5/ 5/225/21Vv、人1X2人尤)3=0+ 3x + x = 023例2设直线1:3x - x + 6x = 0123关于21 21 32 3x 2 + %2 - 2x x +2x x -6x x - 0 i的极点。(P1，P2 P3)(-13解得P =3, p12=-1,=一1,即 P(3, -1, -1) o3.2配极原则定理3.4（配极原则）如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线通 过P点。证明 设二阶曲线的方程为S三 a x x =0, P(P, p , p ), Qij i j

26、12 J（q1, q2, q3）,于是P点关于S = 0的极线为S =0, Q点关于S = 0的极线 为Sq=0,因为P点的极线经过点Q,所以有 cSpq=0,由于Spq=Sqp，所以、士一 -心-Sqp=0这表示Q点的极线通过点P。推论1两点连线的极点是此二点极线的交点；两直线交点的极线是 两直线极点的连线。推论2共线点的极线必共点；共点线的极点必共线。推论3设P为二阶曲线外一点，PA, PB为曲线的切线，A, B为切 点，则AB为点P的极线。例3 一个完全四点形的四个顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全 四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。证明 设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，

27、于是（BC, XE）=1（AD, XF） =1所以，E, F都为X关于二阶曲线的共轭点，从而直线EF即直线YZ 是X的极线。同理，XY是Z的极线，由配极原则可知，XZ是Y的极线。定义3.3如果一个三点形的三个顶点恰好是对边的极点，则此三点形 称为自极三点形。例4已知点P不在二阶曲线（c）上，求作P点关于（c）的极线。解过P点任作（c）两条割线，与（c）分别交于A, B与C, D,设 AC与BD交于点Q, AD与BC交于点R,则直线QR就是P点的极 线。3.3配极变换互相配极的图形 自配极图形定义3.4射影平面内一点与其关于一条非退化的二阶曲线的极线的 一一对应称为配极变换。配极变换是一种异素的

28、对应。配极变换的表达式为：ku = a p + a p + a p1 11 112 213 3 ku = a p + a p + a p , k 丰 0, a = a ,1 a X 02 21 122 223 3ij ji ijku = a p + a p + a p、 331 132 233 3其中（p1，p2，p3）与U，u2，u3是极点与对应直线的坐标，由于la i尹0, 所以这是非奇线性对应，共线四点的交比等于它们对应四条极线（共点的 四直线）的交比。配极变换是一般的点线变换的特殊情况，一般的点线变换形如：pu =H3 a x（i = 1,2,3）la 40i ij j ij j=1的

29、变换，它与配极变换的差别在于不要求aij=aji.4二阶曲线的射影分类4.1二阶曲线的奇异点定义4.1设二阶曲线r的方程为：S = 23 a x x = 0, a = a , ij i jijj八j =1则满足方程组a x + a x + a x = 011 112 213 3 a x + a x + a x = 021 122 223 3a x + a x + a x = 031 132 233 3的点P（x1，x2，x3）称为S=0的奇异点。根据奇异点的定义，我们不难得出如下结论：（1）非退化的二阶曲线，其系数行列式IJ壬0，因此上述方程组无非 零解，所以，二阶曲线是非退化的充要条件是它上

30、面没有奇异点。（2）一个点是奇异点的充要条件是它没有对应的极线。（3）退化的二阶曲线可能有唯一的奇异点，也可能有无穷多奇异点， 它们在一条直线上。当系数阵A的秩为2时，方程组有无穷多组解（成比例），此时 有唯一奇异点。当系数阵A的秩为1时，方程组有无穷多组解，这些解满足一个 一次方程，这些奇异点都在一条直线上。（4）凡奇异点一定在退化的二阶曲线上。4.2二阶曲线的射影分类设在射影坐标系A1，A2，A3； ET二阶曲线的方程为S = 23 a x x = 0, a = aij i jij jii, j=1以下分三种情况讨论：（1）I气1尹0，即系数阵的秩为3,此时二阶曲线是非退化的，曲线 上没有

31、奇异点。选取自极三点形AA2 A3作为坐标三点形，另外选取不在坐标 三点形三边上的任一点E为单位点，建立新的坐标系。作一个射影坐标变换，将原来坐标三点形A1，A2，A3和单位点E变 为三点形AA2 A3和单位点E，因为坐标变换是非奇的线性变换，所以二阶曲线的方程可以化为:， C乙 a x X = 0,ij i ji,jT因为两点P（pi），Q（qi）关于二阶曲线共轭的条件是23 a p q = 0 j i j i,jT由于三点形AA2 A3是自极三点形， 轭点，于是有因为 A（1，0，0），A2Z有a = a = 0，同理可以得到a = a = 0, a122131在新的坐标系下，方程变为，2

32、， ，2a X + a X + a所以三个顶点两两互为共=a13（0，1，0）为共轭点，则23 = I? = 0，2 X3 2 = 0另作变换px =la Ix , （i = 1,2,3） iii i此变换只改变单位点的位置，不改变坐标三点形，通过这个变换方程化为”I a 1=0，且系数阵的秩为2,此时二阶曲线是退化的，而且只有 一个奇异点。取奇异点作为新坐标三点形的顶点A3（0，0，1），取不在曲线上的 任意点作为新坐标三点形的第二个顶点A2（0，1，0），则a2的极线 必通过a3，另在a2的极线上任取不在曲线上的一点作为三点形的第 三个顶点A以AA2 A3为新的坐标三点形，取定单位点E，于

33、是，在新坐 标系下二阶曲线的方程化成： X 2 X 2 = 023.一 由于X , X2 , X3的地位相同，所以方程只有下列两种情况:+ X 2 + X 2 = 023（1）（1，0，0），L a x xij i j= 0,aij = a jii,j=1（2）X 2 + X ” 2 _ X 2 = 0123方程（1）表示虚长圆曲线，（2）表示实长圆曲线。且(a )的秩为2。因为A3(0, 0, 1)是奇异点，所以它的坐标满足方程a x+ a x+a x=011 112 213 3ax+a x+a x=021 122 223 3ax+a x+a x=031 132 233 3故有 八a = a

34、 = a = 0又由于A1(1, 0, 0)与A2(0, 1, 0)是共轭点，所以a = a = 0, 于是曲线方程化为12212 2a x + a x = 0 八 因为系数阵的秩为2,所以a11 - a22丰0 另作坐标变换p x = . .1 a Ix , (i = 1,2)v .iii i则曲线方程变换成土 x 2 土 x ”2 = 012上述方程包含两种情况：x 2 + x 2 = 0(3)L I和x - x = 0(4)它们分别表示两条虚直线和两条实直线。(3) I a. 1 = 0,且(a.)的秩为1,此时二阶曲线是退化的，而且奇异 点的集合是一条直线。取这条直线作为新坐标三点形的

35、一边x1 =0,并在其上选取两点为 A2(0, 1, 0)和A3/(0, 0, 1),另在直线外任取一点为A1(1, 0, 0),取定单位点E(1, 1, 1),建立新坐标系，于是曲线方程化为：， f 八 a x x = 0, a = aij i jij jii,jT 且(a.)的秩为1。因为直线x1 =0上的点都是奇异点，所以 八a = a = a = a = a = 0 于是曲线方程化成 222333x2=0（5）它表示一对重合直线。通过以上讨论可知，适当地选取坐标系，可以把二阶曲线方程化成（1）、 （2）、（3）、（4）、（5）中的一种，这些方程称为二阶曲线的标准方程，共 代表五类曲线。

36、利用对偶原理可以得到二级曲线完全类似的结果。1-5章课程学习指导主要内容纲要第一章1. 基本概念：平行投影（透视仿射对应）单比仿射对应仿射变换2. 基本性质：基本不变量：基本不变性：3. 决定平行投影仿射对应4. 仿射变换的代数表示及其特例仿射变换特例：相似变换正交变换第二章1. 中心投影2. 无穷远元素3. 射影空间4. 笛沙格定理及其逆定理5. 齐次坐标第三章（一）交比1. 交比的定义2. 交比的性质及其计算3. 完全四点形与完全四线形的调和性（二）一维射影对应（变换）1. 定义：几何定义和代数定义2. 判断3. 决定条件4. 代数表达式5. 分类：双曲型；椭圆型；抛物型6. 特殊的仿射对

37、应：透视对应和对合对应（三）二维射影对应1. 定义2. 代数表示3. 决定条件：4. 不变元素的求法：（四）射影坐标1. 定义：一维及二维2. 非奇异线性变换：坐标变换和射影变换第四章射影几何学与仿射几何学和欧氏几何学的比较第五章（一）二次曲线的射影定义1. 射影定义：几何定义二阶曲线和二级曲线代数定义：二阶曲线和二级曲线2 .性质（1）线束和点列的中心和底（2）基本定理（3）二次曲线上交比性质（4）二次曲线的切点和切线（二）二次曲线的极点和极线1. 极点极线的定义和求法2. 作图3. 陪极原则4. 配极变换5. 常态二阶曲线的自极三点形（三）二次曲线的射影分类1. 奇异点的定义和性质2. 射影分类