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1、论二重积分的计算方法1=摘要二重积分在高等数学中占有非常重要的地位，几乎触及到数学的各个范围。 因此学会二重积分的计算方法特别重要。本文主要讨论了化累次积分法、换元计 算法、极坐标计算法。关键字：二重积分;计算方法;积分法;换元;坐标计算法Discussion On The Calculation Method Of DoubleIntegralAbstractDouble integrals in higher mathematics plays a very important role in mathematics, almost touch each range. So learn t
2、o the double integral calculation method is particularly important. This paper mainly discusses the method of repeated integral, change element calculation method, calculation method of polar coordinates.Keywords: Double integral; Calculation method of ; Integral method For element; Coordinate ;Calc
3、ulation method第一章重积分的概念重积分的计算主要是把二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计 算求得二重积分值。第二章累次积分法2.1累次积分法其主要步骤；累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下 限；第三步：计算累次积分。要注意的是，累次积分要选择适当的积分次序积分次序的不同将影响计算的繁 简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”， 而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的。2.2二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：一是先积y后积
4、x的累次积分，艮若f (x, y)在矩形区域D = a, bx L, d 上可积，且对每个x eta, b ，积分其j df G, y d存在，则累次积分f bdx f df G, y dy也 ca c存在，且：jj f (x, y db = jb dxf d f (x, y )iyac D其二是先积x后积y的累次积分，即:若f (x, y )在矩形区域D = ta, bktc, d 上可积，且对每个y etc, d ，积分f bf (x, y认存在，则累次积分f ddy f bf (x, y认也 aca存在，且：ff f (x, y db = f d dy fb f (x, y 认ca D特
5、别当f (x ,y)在矩形区域D = a, b ktc, d 上连续时，则有：ff r()7 一 h . d r( h . d r(),JJ f Vx, ydb = J dxJ f x, y Jy = J dx J f x, ydyacacD选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。例题2.2。1计算jj迎三dxdy，D是由y = 0,y = x, x = 1围成的区域 x D解：先画出区域D的图形，如图2先对y后对x积分，则由D : | 0 - X *知 0 y xdxdyj1sin xdx = -
6、cos x + 10= jig dxjdy =j xdx0 x00 x如果先对x后对y积分，由于j g dx不能用初等函数表示，这时重积分“积 x不出来”。更换积分次序的理论依据是什么呢？对于给定一个二重积分jj f G, y)d，若分别把它化为积分次序不同的二次D积分而得下列等式：jj f G, y )da =jbdx j2(x) f G, y )dya卬 i (x )jj f (x, y )da = jd dy jv 2(y)f (x, y )dxcv.(y)D1fTjllfbf 9 (x) () fdfv (y) () 7则显然有 j dx j 2 f vx, y )dy = j dy
7、j 2 f vx, y )dx a9 (x)c V (y)如果首先给出式中的一个二次积分(例如左端)，而此时又无法计算结果 或比较麻烦，则我们可以写出式中的另一个二次积分(例如右端)，这时重积 分重要问题则转化为更换积分次序问题。例题2.2.2.试更换j； dx j1-xf (x, y )dy的积分次序0x解：把先对y积分更换为先对x积分由原累次积分的上、下限可得x x y x 1 xD :1210 a x b2xy0x1x12由D的联立双边不等式可画出域D的图形，如图30xyD头穿区域DD0 x 112 dx0x, y dy12 dy y00f x,y dx1 dy 1 y f x,y dx
8、102再由图形写出先对x的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于x轴的箭 ，知先对x后对y积分必须将D分为D1和，其中对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为:由原累次积分的上、下限列出表示积分域D的联立双边不等式，例如。根据上列联立双边不等式画出区域。的图形园按新的累次积分次序，列出与之相应的区域。的联立双边不等式&.按中的不等式组写出新的累次积分的表达式。关于这方面的应用我们再看一个例子。例题1.23（华中理工大学,2000年）设f x在a,b上连续，证明jb dxfx f (y )dy = jb (b - x)f G)dx a aa证：改变积分顺序得：r r z x r p/、 r z
9、、/、 r z 、/、x () b b () b ( L() b ( L(L dxf y Jdy = dy f y Jdx = b - y Jf y Jdy = b - xJf xJdxa aa yaa第三章换元计算法计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得.适当地利用换元法可以把 被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式.下面以定理时间给出.定理：设f (x, y )在有界闭区域D上可积，变换T : x = x(u, v), y = y(u, v)将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域D 一一地映成xy平面上的闭区域D，且满足：(1) 、函数x = x(u, v), y = y (u,
10、 v)在D呐分别具有一阶连续偏导数.(2 )、在D，上有雅可比行列式J =d x d x d u d v d y d x d u贝U jj f (x, y )ix = jj f x (u, v ), y (u, v，|j (u, v)|dudv -DD在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在 于积分区域的多样性。而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。为此， 针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。例题3.1.(湖北大学2002年，中南矿治学院)求耻二血y，其中DD = (x, y )I x + y 0, y 0 x + y = u，即 y = u则d变成了
11、D，=r1d(x, y) id(u, v )jj ex+ydxdy = jj e v dudv = dv jv e vdu = j1v(e - 1)dv =(e - 1)0002DD选择适当的变换这种方法才有效，选择变换的基本要求是：变换后定限简便， 求积容易.第四章极坐标计算法当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的 二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问 题.例如： e-x2-y2dxdy , JJ sin( x2 + y2 )dxdy , JJ cos( x2 + y2 )dxdy 等.x 2 + y 2 a 2x 2 + y 2
12、 a 2x 2 + y 2 a 2用极坐标计算二重积分的步骤(1)画出积分区域的草图；将JJ f (x,力dxdy转化为J f (r cos 9 , r sin 9 )rdrd 9，根据积分区域的草图确DD定r和9的积分范围；(3)将f (r cos 9 , r sin 9 )rdrd 9转化为二次定积分，并计算得出结果.D例4.1画出积分区域，把二重积分JJ f (x, y )dxdy表示为极坐标形式的二次积分,D其中区域 D 是： x2 + y 2 2x ；(2)0 y 1 - x,0 x 1 .解：(1)积分区域D的草图如图所示：图15其边界为半径为1,圆心在(1,0)点的圆周.由 x
13、= r cos 9 , y = r sin 9 代入X2 + y 2 = 2X得它的极坐标方程为r = 2cos 0，;崩V ；，则D可表示为：0 r 2 cos 0 -0 .任意取定0 e （生,生），作极角为0的射线，在这条射 222 2线上, 运动变化着的r从r = 0穿入从r = 2 cos 0穿出积分区域，所以t）,2 cos 0 为里层积分即对r的积分区间.故U f ( x , y )dxdy = f 2 d0 f2cos 0 f (r cos 0 , r sin 0 )rdrD（2） D的草图如图:由 x = r cos 0 , y = r sin 0 代入y = 1 - x得其
14、极坐标方程为r = , y = 0, x = 0的极坐标分别为0= 0,0=-,这时D可以表示为:cos 0 + sin 0210 r ,0 0 一 ,cos 0 + sin 02故:ff f ( x , y )dxdy-=J 2 d0 J cos 0+ sin 0 f (r cos 0 , r sin 0 )rdr .00例4.2.计算下列二重积分：(1)I = ff xydxdy , 其中 D 为：x2 + y2 a2, y 0D (2) ff (x2 + y2)dxdy ,其中 D 为：v；2 x -x2 y v4 - x2 .D解：（1）积分区域D的草图如图所示:20图17从草图来看选
15、用极坐标比较方便（若选用直角坐标，则无论选取D为X -型区域还是型区域都要分块）.将X = r cos 9 , y = r sin 9代入X 2 + y 2 = 2ax与x 2 + y 2 = a 2分别得它们的极坐标方程为r = a, r = 2 a cos 9 ,它们交兀0,一3点的极坐标为（a,：） . D的夹在9 = 0（即y = 0）与9 =:之间，即9的变化范围为,由极点O引射线（其极角9 e （0,；）穿过D内，它由r = a穿入由r = 2 a cos 9 穿出，则D可表示为：a r 2 a cos 9 ,0 9 生故：3I = j 3 d9 j2acos9 r cos 9 -
16、 r sin 9 - rdr =f 3 cos 9 sin 9d9 j2acos9 r3dr0a0aa4兀兀=j 3 cos 9 sin 9 (16 cos 4 9 - 1)d 9 = 一 4 a2 j 3 cos 5 9 d (cos 9 )16（2）积分区域草图如图所示:图18根据积分区域D边界曲线及被积函数是X2 + y 2的特点，选取极坐标 比较方便，D的边界曲线y =打二2, y = 4=，将x = r cos 9 , y = r sin 9代入得 极坐标方程分别为=2, r = 2cos 9 , D夹杂y = 0及x = 0之间，即D在射线 9= 0,9 =；之间.由极点引射线(极
17、角9 e (0,；)，它由边界r = 2cos 9穿入D，由 边界r = 2穿出D，即D用极坐标可表示为2cos 9 r 2,0 9 -.故2兀2兀1 一I = J 2 J r2 - rdr = J 2 (24 - 24 cos 4 9 )d902 cos 90 4n n 兀 3 1兀 5=4 J 2 (1 一 cos 4 9 )d 9 = 4 一 一一.一.一=兀0L 24 2 24例4.3计算下列二重积分(1) jj ln( x2 + y2)dxdy 其中 D 为闭区域：e2 x2 + y 2 0 :D(2) jj顷Xy dxdy 其中 D 为闭区域：x 2 + y 2 0 .1 + X
18、2 + y 2D解：(1)积分区域D为上半圆域且被积函数中含(X2 + y 2)，用极坐标较简便，D的极坐标可表示为：e r e 2,0 9兀.故jj ln( x 2 + y2 )dxdy = jd9 je In r2 rdr =兀 je，In r2dr 2D二一C2 In r 2 - r2 】？ = e2 (3 e2 - 1) 2e 2(2)积分区域D为半径为1的右半圆域，被积函数是属于f (X2 + y 2)类型的函数，用极坐标计算比较方便，又f ( X 2 + y 2) = 1: Xy 2)关于y是偶函数，1 + X2 + y2积分区域D关于x轴对称，故原积分D是的第一象限部分D1上的积
19、分的2倍，其 中D1的极坐标表示为0 r 1,0 9 2 .故：II,j ：1-(x 2-y 2) dxdy = 2 j ：-(X 2) dxdy = 2 j： d 0f ：D1arcsin r2 + 11 一 r40 V1 - r 4兀=_ (兀-2)4对被积函数为f (x 2 + y 2 )或积分区域为圆域，扇形域，圆环域时，可考虑利平面上的用极坐标系计算.此时可以设广义极坐标变换|x = x0 +以cOs 0将xOyy = y + br sin 0有界闭区域D地变成r 0平面上有界闭区域D ，f (x, y )在D上连续，则:jj f (x, y )db = jj f (x + ar c
20、os 0 , y + br cos 0 )abrdrd 0 -特别当：(x 0,y )=(0,0 ),a = 1,b = 1时，公式变为极坐标公式:j f (x, y )d。=j f(r cos 0 , r sin 0 rd 0二重积分计算方法总结计算二重积分应该注意以下几点：首先，选择坐标系.先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示 简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表 达式能否简化并易于积分.其次，化二重积分为二次积分.根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线 确定内限，夹线确定外限.最后，计算二重积分.由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分
21、变量看做 常量.参考文献1 宫莉.分部积分法在重积分计算中的巧用J.高等函授学报(自然科学版), 2011, (02)2 邢同海.质量概念与重积分的计算公式J.内蒙古教育学院学报，1999, (04)3 曾云辉.较强条件下三重积分换元公式的一种证法J.巢湖学院学报， 2006, (03)4 张鑫，崔永强.求物体质量要准确把握积分概念J.株洲师范高等专科学 校学报，2007, (02)5 郭欣红.划线法在解重积分中的作用J.河南教育学院学报(自然科学版),2008, (04)6 陈慧琴，李秀兰.论积分的可减性J.山西大同大学学报(自然科学版),2009, (05)7 隋云云.分部积分法的推广J.
22、民营科技，2008, (12)8 张劲.关于积分解法的一点思考J.科技信息(学术研究)，2008, (06)9 林国广.一道二重积分题的教学处理J.云南大学学报(自然科学版), 2008, (S2)致谢本课题在选题及研究过程中得到陈裕先老师的悉心指导和不懈支持。陈裕先 老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热 忱鼓励。陈裕先老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅 授我以文，而且教我做人，给以终生受益无穷之道。陈裕先老师渊博的学术知识、 诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风范使我获益颇多。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完 成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的 谢意！最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授！
