从稳定性角度分析电动平衡车.docx

《从稳定性角度分析电动平衡车.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从稳定性角度分析电动平衡车.docx（47页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、从稳定性角度分析电动平衡车ANALYZING SEGWAY FROM THEASPECT OF STABILITY专业：2012信息与计算科学姓名：张芮嘉指导教师：申请学位级别：学士论文提交时间：学位授予单位：天津科技大学电动平衡车已经悄然进入了人们的生活，随着人们出行方式的改变，电动平 衡车变得越来越流行起来.但相比于传统的汽油发动机的车辆，电动车更加容易 操控，动力更加独立可控.如此，我们需要提高电动车的行驶稳定性以提高电动 车的安全性.电动平衡车的最简模型是一个倒立摆模型，通过对此倒立摆进行约束，我们 的模型能够进一步贴合真实的电动平衡车运动，从而达到最优控制.本文中第一部分介绍了倒立摆

2、的知识，阐述了电动平衡车是一个简单的倒立 摆模型，介绍了倒立摆的研究历史，并对现阶段倒立摆研究的成果及方法进行了 总结.第一部分还阐述了对倒立摆系统进行控制的意义.第二部分我们先将人-平衡车系统简化成为一个一级倒立摆，即小车-倒立摆 系统.对小车-倒立摆系统进行受力分析，建立其牛顿力学方程.接下来建立了系统 的拉格朗日函数，并求其方程，验证前面计算的牛顿力学方程正确与否.对拉格 朗日函数进行勒让德变换，使系统函数转变为哈密顿函数，求其对应的哈密顿方 程，得到非线方程组.之后对哈密顿方程进行线性化处理，并对其进行稳定性分 析，得到系统不稳定结论.接着对不稳定的系统增加控制，使系统稳定.第三部分我

3、们对真实的人-平衡车系统的参数进行了测量，并将参数值带入 前文中得出的系统方程及控制方程，得到只与角度及位移有关的方程.第四部分对这组参数值下的方程进行Matlab拟合，用两种方式进行拟合， 一种为simulink方法直接拟合，一种用改进的哈密顿方程拟合.拟合结果表明我 们的控制非常有效.关键词： 牛顿力学；拉格朗日方程；哈密顿方程；勒让德变换；线性化；Matlab拟合Segway has quietly entered peoples lives, with the change of the way people travel, Segway is becoming more and mo

4、re popular. But compared with the traditional gasoline engine vehicles, electric vehicles is more easy to control, more independent controllable power. So, we need to improve the driving stability of the electric car in order to improve the safety of the electric car.Balance electric car the simples

5、t model is an inverted pendulum model, through the invertedpendulum is constraint, our model can further joint real balance electric car movement, so as to achieve optimal control.The first part of this article introduces the knowledge of the inverted pendulum, this paper expounds the electric balan

6、ce inverted pendulum model of car is a simple, introduces the research history of inverted pendulum, and the research results of the present stage inverted pendulum and method are summarized. The first part also elaborates the significance to control the inverted pendulum system.The second part of o

7、ur people - first balanced car inverted pendulum system is simplified into a level, namely the car inverted pendulum system. Stress analysis was carried out on the car inverted pendulum system, establish the Newtonian mechanics equations. Then the Lagrange function of the system, and the equation of

8、 the verification calculation of Newtonian mechanics equation correctly or not. In front of the Legendre transformation was carried out on the Lagrange function, make the Hamiltonian function into a system, its corresponding Hamiltonian equations of non-linear equations. After the Hamiltonian equati

9、ons are linearized processing, stability analysis, and carries on the system unstable conclusion. Then to control the unstable system increase, make the system stable.The third part of our real people - balanced car system parameters were measured, and the parameter values into the first in this pap

10、er, we concluded that the system equations and the control equations, only related to the Angle and displacement equation is obtained.The fourth part of this group of parameters fitting the equation with Matlab, use two ways fitting, a method for the simulink direct fitting, an improved, with the Ha

11、miltonian equation of fitting. The fitting results show that our control is very effective.Key words： Newtonian mechanics; lagrange equation; Hamilton equation ; legendre transformation; linearisation; Matlab Fitting1前言12倒立摆32.1电动平衡车与倒立摆系统32.2对倒立摆系统稳定性研究的意义32.3倒立摆的发展43 一级倒立摆63.1理论支持63.2 一级倒立摆数学模型64平

12、衡车的稳定性分析174.1平衡车数学模型174.2平衡车的稳定性分析205 Matlab 模拟30总结34参考文献35致谢361前言电动平衡车已经悄然进入了人们的生活，随着人们出行方式的改变，电动平 衡车变得越来越流行起来.但相比于传统的汽油发动机的车辆，电动车更加容易 操控，动力更加独立可控.如此，我们需要提高电动车的行驶稳定性以提高电动 车的安全性.电动平衡车的最简模型是一个倒立摆模型，通过对此倒立摆进行约束，我们 的模型能够进一步贴合真实的电动平衡车运动，从而达到最优控制.王光雪在5 中向我们阐述了单摆是研究非线性动力学与复杂的物理现象的 一个模型，在科学和工程的各个领域（例如，电路和电

13、荷密度波）有广泛应用.尽管 科学上对于摆的最初研究可追溯到几个世纪以前伽利略、惠更斯、福科等科学家 的时代，但是直到今天，对单摆的动力学特性的研究依然十分活跃.目前对单摆 模型研究的主要目的是发现新运动、揭示新现象，检验各种分析方法和数值方法， 并为实际应用开发出新的技术和手段.在过去的五十年里，人们从各方面的对单 摆进行了动力学研究，从最简单的谐波及亚谐波运动和复杂动力学，到控制规则 倒立位置和混沌，运用了分析、数值、实验的方法，取得了大量有价值的成果.刘骞在4 中阐述了倒立摆作为一个高阶次、多变量、非线性和强耦合的自 然不稳定系统，一直是控制领域研究的热点问题.它广泛应用于控制理论研究、

14、航空航天控制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的理论 价值和实践价值.这些物理装置与控制系统的稳定性密切相关，深刻揭示了自然 界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好 的稳定性.早在60年代人们就开始了对倒置系统的研究，1966年Schaefer和 Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置.在60年代后期， 作为一个典型的不稳定、严重非线性之例，人们提出了倒立摆概念，并用其检验 控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的处理能力，受到世界各国许多科学家 的重视，用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一

15、. 倒立摆系统的控制目标是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的 控制方式使之成为.稳定的系统，系统上表现为把摆稳定地竖立在本来不稳定的 竖直位置。理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程应用价值.如机器 人问题，机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来己有三 十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决.再如太空应用中，倒立 摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，它也是日 常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象，因此，倒立摆机 理的研究又具有重要的工程应用背景，成为控制理论中经久不衰的研究课题.倒 立摆的控制方法，在军

16、工、航天和机器人领域有广泛的用途，对处理一般工业过 程亦有指导性作用.王迪在7 中阐述了现实世界中，纯粹的线性系统几乎是不存在的，因此非 线性系统的稳定性及控制问题，一直是学术界研究的热点.本文研究了一类非线 性系统的绝对稳定性，并基于提出此问题的非线性孤立法的思想，研究了一类非 线性系统的多模型自适应预见控制问题.2倒立摆2.1电动平衡车与倒立摆系统简单的一级倒立摆如图2-1所示，由导轨，小车和固定在小车上可以自由转 动的摆构成，小车可沿导轨向左或向右运动，摆可在垂直平面内自由运动.电机 通过传送带使小车运动，并使倒立摆稳定竖直在垂直位置.图2-1简单的一级倒立摆电动平衡车是一个复杂的倒立摆

17、模型.倒立摆模型作为一个高阶的非线性不 稳定系统，其稳定控制是相当困难的.对于电动平衡车问题，在着手于研究倒立 摆模型的同时，更重要的是增加对于倒立摆模型的约束，使模型可以比较完全的 模拟电动平衡车行驶过程中受到的外界影响因素.同时，要使这个非线性系统的 输出变量稳定地保持为某个常值，也需要我们对模型进行调整，使电动车在理论 上符合安全性要求，为批量生产提供必要的理论依据.我们需要非线性系统达到稳定状态，即当系统中存在扰动作用而使系统偏离 其平衡状态时，系统会产生相应的调节作用以抑制扰动的影响，使系统很快地返 回到原平衡状态.2.2对倒立摆系统稳定性研究的意义在控制理论发展的过程中，某一理论的

18、正确性及在实际应用中的可行性需要 一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这 样一个被控对象.倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反 映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以 及跟踪问题等.倒立摆的典型性在于：作为一个装置，成本低廉，结构简单，形 象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制；作为一个被控对象，又相 当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快 速性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定.对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和 稳定时间直接度量

19、，控制好坏一目了然.理论是工程的先导，对倒立摆的研究不 仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景.从日常生活中所见到的任何重心 在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆 的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平 台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过 程控制等都属这类问题。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义， 成为控制理论中经久不衰的研究课题.2.3倒立摆的发展鉴于倒立摆的稳定控制研究对于现代高技术研究具有的重要实践意义，国内 外学者对此给予了广泛关注.早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的

20、研究，1966年Schaefe:和Cannon 应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置.在60年代后期，作为一 个典型的不稳定、严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对 不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从 而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一.直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛 的研究，虽然在许多方面都取得了较满意的效果，但其控制方法过多的依赖于线 性化后的数学模型，故对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对象缺乏 指导性的意义.在80年代后期，随着模糊控制理论的

21、快速发展，用模糊控制理论控制倒立 摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应 能力，并且用模糊控制理论控制一级倒立摆取得了非常满意的效果，由于模糊控 制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用适合的方法处理二级倒立 摆多变量之间的关系，仍是模糊控制二级倒立摆的中心问题之一.清华大学的张 乃尧先生等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根 据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的控制器.当控制 器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数指数增加，不仅使模糊控制设 计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用.张乃

22、尧先生对 倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好的解决了上述问题，并在实际装置上取得 了满意的结果，并对其他模糊串级控制也具有参考价值.程福雁先生等研究了使 用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制拟通过传统的控制理论得出各种 状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优和重复试验相 结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数;采用高精度清晰化方法，使输出 控制等级更为细腻.神经网络控制倒立摆的研究，自90年代初开始得以快速的发展.而早在1963 年，Widrow和Smith就开始将神经网络应用于倒摆小车系统的控制.神经网络控 制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显

23、示出巨大的潜 力。今天有许多学者正致力于引用神经网络控制一级或二级倒立摆的研究.另外 还有许多其他的控制方法用于倒立摆的控制.3 一级倒立摆3.1理论支持3.1.1哈密顿方程简介大量物理、力学与天文问题的数学模型可由哈密顿方程描述，哈密顿方程的 研究大大促进了非线性系统的发展.哈密顿力学系统可用哈密顿（正则）方程表示为.2H . 6H（3-1）p = , q =dqdp其中（p,q） = （p , p，,p ,q ,q，,q ）为系统的n对共轭变量，称为正则变量.p 12n 12n称为系统的广义坐标，q称为广义动量，H称为哈密顿函数或能量函数.3.1.2非线性方程组的稳定性简介在线性系统中,如

24、果平衡态是渐近稳定的，则系统的平衡态是唯一的，且系统 在状态空间中是大范围渐近稳定的.对非线性系统则不然.非线性系统可能存在多 个局部渐近稳定的平衡态（吸引子）,同时还存在不稳定的平衡态（孤立子）,稳定性 的情况远比线性系统来得复杂.与线性系统稳定性分析相比，由于非线性系统的多 样性和复杂性，所以非线性系统稳定性分析也要复杂得多.对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:针对各类非线性系 统的特性，分门别类地构造适宜的Lyapunov函数.如，通过特殊函数来构造李雅普 诺夫函数的克拉索夫斯基法（也叫雅克比矩阵法）.针对特殊函数的变量梯度构造 Lyapunov函数的变量梯度法（也叫舒尔

25、茨-吉布生法）.针对特殊非线性系统进行线 性近似处理的阿依捷尔曼法（也叫线性近似法）、鲁立叶法等.由于非线性系统千差万别，没有统一的描述,目前也不存在统一的动力学分析 方法,因此对其进行稳定性分析是困难的.只能针对具体的非线性系统进行具体分 析.3.2 一级倒立摆数学模型本节中，我们用牛顿力学给出系统的运动方程，用欧拉-拉格朗日方程验证 运动方程的正确性.M 小车质量（kg）；m 摆质量（kg）；J 摆杆对质心的转动惯量（kg -m2）；l 摆质心到转动轴心的长度（m）；x 小车位移（m）；0 一摆杆与竖直方向的夹角（rad）；f 一小车受到的等效摩擦力（N）；R 一小车受到的等效摩擦系数；u

26、 一电机对小车的作用力（N）.3.2.1牛顿力学求运动方程首先，我们对小车进行受力分析，见图3-1.图3-1小车受力分析图我们规定图3.2.1-1中x方向为正位移，摆角的正方向为顺时针.N为摆杆对 小车水平方向的分力，户为摆杆对小车竖直方向的分力.则根据牛顿力学我们得到下列方程：（3-2）（3-3）“d 2 xu - N - f = Mdt 2工 dxf =rdt然后，我们对摆进行受力分析，见图3-2.图3-2摆受力分析图则根据牛顿力学我们得到下列方程：N为摆的水平方向上的受力N = m2( x +1 sin 0) dt 2=(x +10 cos0) dt=m(x +1(0 cos0 -0 2

27、 sin0)(3-4)户为摆的竖直方向上的受力d 2P一mg = m(1 cos0) = ml(0 sin0 +0 2 cos0)dt 2（3-5）摆的力矩平衡方程P = mg ml(02 cos0 +0 sin0)（3-6）Pl sin 0 一 N1 cos 0 = J0（3-7）则联立(3-2)，(3-3)，(3-4)我们得到u = (M + m) x + Mx + ml (0 cos0 0 2 sin 0)( 3-8)则联立(3-4)，(3-6)，(3-7)，消去N,P，我们得到mglsin 0 ml 2 cos 0 sin 0 ml20 sin2 0mlxcos0 ml20 cos20

28、 + ml202 sin0 cos0 M 0 = J0化简得mglsin0 -ml20 mlxcos0 = J。(3-9)联立（3-8）与（3-9）我们得到简单一级倒立摆的非线性方程组u = (M + m)x +pX + ml(0 cos002sin0)(3 10)mgl sin 0 ml 20 mlx cos0 = J03.2.2欧拉-拉格朗日方程验证正确性首先，我们建立系统的拉格朗日函数，q为广义坐标系，T表示系统的动能， U表示系统的势能.L（q,q） = T （q, q） U （q, q）（3-11）我们先来计算系统的动能T，Tm表示小车的动能，T表示摆的动能，T为 初始时刻系统的动能

29、，可知T= 01 _， 、T = MX 2(3-12)m 211一 一、T = 2 m( X + (l sin 0 )2 + (l cos 0 )2(3-13)T = T + T T = 1 MX 2 +1 m( X + (l si0 )2 +1 m(l co0 )2(3-14)M m 0 222然后计算系统的势能U（3-15）（3-16）U = J1 mg cos0y = mg cos0少 y = mglcos0 -0 = mglcos0 00则系统的拉格朗日函数L为111L = MX 2 + m( X + (l sin 0 )2 + m(l cos 0 )2 mgl cos 0222其对应

30、的欧拉-拉格朗日方程为（1）当 q = X 时：d(竺)-竺=。，,、dt dx: dx(3-17)(M + m)x + mB cos9 -mB cos9 -m62 sin9 = 0（2）当 q. =9 时:d(H)一普=0，mXc o9 + ml20 m gsli 9 = 0(3-18)联立（3-17）与 组（3-18）我们得到不加控制的简单一级倒立摆的非线性方程(M + m)X + ml9 cos9 ml9 2 sin9 = 0 mgl sin 9 ml 2。 mlx cos 9 = 0(3-19)最后加入控制摩擦力f及转动惯量J我们得到下列非线性方程组u = (M + m) x + ml

31、9 cos9 ml9 2 sin 9 + pxmgl sin 9 ml 29 mlx cos 9 = J9（3-20）与牛顿方程一致，则原方程正确.3.2.3求哈密顿方程为了方便我们对系统函数的线性化，我们求系统的哈密顿方程.首先，我们先回顾一下我们之前求得的拉格朗日函数LL = M5c 2 +上 m( x + (l sin 9 )2 + L m(l cos 9 )2 mgl cos 92221 1= (M + m)x2 + ml29 2 + mlx9 cos9 mgl cos9(3-21)然后我们对拉格朗日函数L进行勒让德变换c 况P =(M + m) x + ml9 cos 9, x dx

32、c dLP = = ml 29 + mlx cos 99 d9（3-22）则拉格朗日函数L可表示为1 1、1P X = (M + m)x2 + ml奇 cos 0,(3-23)(3-24)（3-25）（3-26）2 x 22P 0 =上 ml 20 2 + mlX0 cos 02 0221 1L=-Px+ P0U2 x 2 0系统的哈密顿函数H可以表示为H = Pq Li iH = Px + P 0 ( Px +1P 0 U)x 02 x 2 011=Px+ P0+U2x 201、1=2(M + m)x2 + 2 ml 0 + mlx0 cos 0 + mgl cos 0则哈密顿函数的最终形式

33、为H = (ml2P 2 2ml cos0P P + (M + m)P 2)2(ml2(M + m) 一 m2/2 cos2 0)xx 00(3-27)一 mgl cos 0现在，我们的系统可用哈密顿方程表示.6Hml2P 一 ml cos0 Px =x0,dP (M + m)ml2 一 m22 cos2 0xdH(M + m)P 一 ml cos P0 =0,dP(M + m)ml2 一 m22 cos2 00”=一喜如(3-28)-dHml sin 0P = 一 八=0d0(ml2(M + m) 一 m2l2 cos2 0 )2(ml cos 0 (ml 2 P 2 + (M + m) P

34、 2 一 ml cos 0 P P ) 一 ml 2( M + m) P P ) x0x 0x 0+mgl cos 03.2.4对系统的哈密顿方程进行稳定性分析由于公式过于复杂和冗长，我们将一些系数用符号表示.a= ml2，p = ml，Y = M + m，d = mgl.则哈密顿方程变为, 侦P云 - 0 cos Bp ay - 0 2 cos2 9 。=y*-0 cos 9P, ay - 0 2 cos2 9p = 0,P =0sin9 . (0cos9(aP2 +yp2-0cos9PP )-ayPP )9(ay - 0 2 cos2 9)2尤 9尤 9 尤 9-d sin 9.(3-29

35、)我们在这部分对哈密顿方程进行线性化处理.我们已知 丁 （七,0,0,0）是系统的平衡点，七为任意常数.我们对方程求二阶偏导a 2 h 八a 2 h 八a 2 h八a 2 h八=0, c = 0,= 0,= 0,ax 2a*a9axaPaxaP99a 2 ha9 2=(ay - 02 cos29)-3(-02(ay cos29 - 02 cos29(2 -cos29)(aP2 +y P 2)x 9a 2 Ha9aP x a 2 ha9aP9+0 cos9 (a2y 2 - 6ay02 sin2 9 - 0 4(1-sin4 9)P P ) + d cos9, x9面- (2a0 cos9P -

36、 (ay + 0 2 cos2 9)P ), (ay - 0 2 cos2 9 )2x90 sin 9(ay - 0 2 cos2 9 )2(2y0 cos9 P - (ay + 0 2 cos2 9)P )，9xa2H _aaP 2 ay - 0 2 cos2 9 xa2H- 0 cos9aP aP ay - 0 2 cos2 9x 9a2H _yaP 2 ay - 0 2 cos2 99将平衡点带入我们得到（3-30）a 2 ha 2 ha 2 ha 2 h厂（z）= 0，E（z）= 0，7n（ z）= 0，7n（ z）= 0， ax 2eaxa eaxaP eaxap ea 2 ha 2

37、 h a 2 ha（z）= d，（z）= 0，T（z）= 0， ao 2eaapeaapex0（3-31）a 2 h ,、 以 （z ）5-，ap 2 e ay - p 2xa2H z）= -p ap ap e ay - p 2xa 2 H , 、 y （z ）5-，ap 2 e ay - p 20线性化后的系统哈密顿方程(3-31)由门=M门给出，门g 4且M是一个4x4的矩阵（00a-pc ）ay - p 2ay - p 200-pyay - p 2ay - p 20000、0-d00 ）(3-32)则M的特征多项式为det（人 E - M） = X 2（人 2 +d y ） ay - p

38、 2（3-33）因为dy 0，矩阵M 一定有一个正特征值.因此系统不是稳定的.3.2.5增加控制使系统稳定我们想要使小车-倒立摆系统稳定，就需要给小车和杆添加一些反馈控制.现 在添加对小车和杆添加两个控制，我们利用改进的哈密顿函数对此问题求 解.则我们现在考虑以下系统z = Xh (z) - X%(z)七-Xf (z)%( 3-34)其中 F = x-x，F =0，F(z ) = 0，F (z ) = 0.如果 u (z ) = 0，u (z ) = 0那么我们1e 21 e2 e1 e2 e的系统为平衡的.5 2H(z )在dF(z )的核上是正定的. ee5 2H(z ) = M (z )

39、(8 x)2 + 2 (z )8 x59 + 2(z )5 x5 Pe办2 / dxde exdP e xx+2项四(z )5x5P +HH(z )(59)2 + 2_|H(z )595PdxdP e 9 89 2 ed9dPe 99x8 2 H8 2 H8 2 H+2 诙(七Px +汪(七)(5 P )2 + 2xx+ 些(z )(5 P )28P 2 e 9 9a 一=d(59)2 +(5 P )2 - 2ay - P 2 xaX8P8P(七)5P5P9x9(3-35)ay 2 5 P P9 +ay-p 2(5 P )2 =d(59)2 + 以广 p (5p 一匕)2 +(5P )2.因为

40、5 x没有出现在表达式中，所以5 2H(z )既不是正定也不是负定的.e我们考虑映射F: T * Q r 2；( x,9 ,P, p) (x - x, 9)，有F的微分dF: T T* Q r 2的对应矩阵，e10 0。)、0 10 0 /因此k e F d =(span ( 0t010 t), 即对于任意ew e kerdF(z ), w丰0都存在a, b e 口，a丰0或b丰0,使得 e52(H)(z )(w,w) = 52(H)(z )(a(0 0eea pn a2 2 ay - P 210)t + b(0 0 0 1)t )w = a(0 0 1 0)T + b(0 0 0 1)T(3

41、-36)0)T + b(0 0 0 1)T, a(0 0 1y ayp 2ab+ay亍b 2(a (a b)2 + (ay p 2)b 2).ay p 2 a a因为ay p2 = Mml2 0且a =ml2 0，所以5 2(H)(z )(w,w)是恒正的，也就是说 e5 2(H)(z)在kerdF(七)是正定的.我们选择一些常量c(i = 1,2,n)，使得改进的哈密顿函数H = H + 1 c (x-x )2 + 1 C 9 2 的二阶变分5 2H(z )是正定的.2 1 e 2 2e现在我们对小车-倒立摆系统（3-29）增加一些反馈控制七（i = 1,2,使得 系统稳定.c (x x )

42、 k (以 P P cos 9 P ) u =1e1x,（3-37）1以丫 P 2 cos2 9c 9 k (y P P cos9 P)U2 =2 以j-p；cos2 9，当u（z ） = 0,u （z ） = 0时，z是一个稳定的系统.我们选择常量c ,c使得1 e2 ee125 2H(z )正定.ed 2 H / 5、八 8 2 Hd 2 H /-(z )(5x)2 + 2(z )5x59+ -(z )5x5Pex 2 e8x89 edxoPe xxC- TTTTC- TT8 2 H8 2 H8 2 H /+2 和(ze * x5/苛(ze )伽)2 + 2 布(ze 9x8 2 H8 2

43、 H8 2 H+2 布(ze 泗5Px + 市(ze )(5 Px 】+ 2xx+ M (z )(5 P )28P 2 e 99=c (5 x)2 + (c + d)(59)2 2。5 P 5 P +，12以y P 2 x 9 ay P 2(z )5 P 5 PdP dPe 八x9（3-38）(5 P )29（3-39）（3-40）=c (5x)2 + (c + d)(59)2 + (5P p P )2 +1(5P )2.12ay P 2 x a 9 a 9则当 c 0,c d,k 0,k 0 时52fj(z )正定.1212e现在我们考虑C = spanF ,H, F ,H ,H, F ,.

44、 i = 1,2.iii则dC的维度dim(dC) = 4 = dimT*0由于H, F = H + ：(cF 2 + cF 2), x x = H, x=-(以 /P * *),1 2 1 122 eay P 2 cos2 9H, F = H + ：(cF 2 + cF 2),9 = H, 9 = -(y .P cos 9),2 2 1 12 2ay P 2cos2 9我们有dH, F =二-dP + 一槊迎dP1 ay - p 2 cos2 0 x ay - p 2 cos2 0 0* 0 sin 0 (2以 cos0 P 一(以丫 + 0 2 cos2 0)p) j。(3-41)(ay-

45、p 2 cos2 0 )2，dH, F =一p：os0dP +二-dP2 ay - p 2 cos2 0 x ay - p 2 cos2 0 0P sin 0 (ay + p 2 cos2 0)P - 2yP cos0 P) d(ay - P 2 cos2 0 )2，通过定义，我们知道 dF1=dx e dC ,dF=d0 e dC,而且 dH, e dC,d ft, F e dC , 因此有一 e dC,(3-42)一 e dC.；以八 dP + 。.0 c dP ay - p 2 cos2 0 x ay - p 2 cos2 00。.0。dP +一丁八 dPay - p 2 cos2 0 x ay - p 2 cos2 00因为-ap cos 0 0, (3-43)