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1、,1.3.2 球的体积与表面积,球的体积和表面积,O,S4R2,1.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？,2rl,rl,(r1r2)l,柱、锥、台的侧面积和体积,V=？,1、球的体积公式,半径是R的球的体积是,从球的结构特征可知，球的大小是其半径所确定的。,O,A,B,C,R,R,球的表面积是大圆面积的4倍,R,2、球的表面积,例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱体积的，(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。,分析：由题可得：球内切于圆柱作圆柱的轴截面（如图）,证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R
2、。.,4.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是_.,1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.,2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.,3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,课堂练习,5.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是_.,例2、若正方体的棱长为a，求：,正方体的内切球的体积,正方体的内切球直径=正方体棱长,正方体的外接球的体积,对角面,球的内接正方体的对角线等于球直径。,与正方体所有棱都相切的球的体积,正方体的内切球直径,正方体的外接球直径,与正方体所有棱相切的球直径,探究 若正方体的棱长为a，则,a,巩固练习,
3、A,球的外切正方体的棱长等于球直径：,球的内接正方体的体对角线等于球直径：,解：设正方体的棱长为a,解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。,结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半,（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则对角线长为,2、球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、2,求此球体的表面积和体积,思考：三棱锥PABC的三条侧棱互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则该三棱锥的外接球的半径等于_.,一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比为（）(A)25(B)12(C)23(D)49,巩固练习
4、,用一个平面去截一个球O，截面是圆面,O,球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d，球的半径为R，则,截面问题,截面问题,例3.一球的球面面积为256cm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积.,巩固练习,1.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为,则球的体积为()【解析】选C.设球的半径为R，则截面圆的半径为 所以截面圆的面积球的体积 故选C.,C,2.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.,解:设截面圆心为O,连结OA,设球半径为R.则:,例4、在球内有相距1cm的两
5、个平行截面，截面面积分别是5cm2和8cm2，球心不在截面之间，求球的表面积.思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距1cm，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化.,在球内有相距2cm的两个平行截面，截面面积分别是5cm2和8cm2，球心在截面之间，求球的表面积.,例5、求棱长为1的正四面体外接球的体积,D,A,B,C,1,解法2：如图,将正四面体放置在棱长为 的正方体中，则A1、C1、B、D是棱长为1的正四面体的顶点。所以正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为,我们可以利用正方体解决正四面体的外接球的的问题。,问题：如果一个正四面体的各棱都与一个球相切，那么是否
6、也可以借助正方体来解决？,即正四面体的外接球即为正方体的外接球。,D,A,B,C,与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球,结论:(1)正四面体的外接球即为正方体的外接球，(2)与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上,例6、若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积,解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，,解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么,我们可以利用正方体解决正四面体的外接球及和正四面
7、体的各棱都相切的球的问题。,一个正四面体的各棱都与一个球相切，则该球就是正方体的内切球,即正四面体的外接球即为正方体的外接球。,D,A,B,C,即正四面体的外接球即为正方体的外接,解题,（1）正四面体的外接球即正方体的外接球，正四面体的内切球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，这三个球的球心都在正方体的中心，又是正四面体的高的一个靠近面的四等分点,与正四面体各棱都相切的球的半径为,巩固练习,1、正三棱锥的高为 1，底面边长为,求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,解：过侧棱AB与球心O作截面(如图),AE切圆O于F,在正三棱锥中，BE 是正BCD的高，,O1 是正BCD的中心，且AE 为斜高,设内切球半径为 r，则 OA=1 r,1,正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一球面上，其该球的体积,课外探究,V,解:设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图所示.由球的截面的性质，可得球心O必在 所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.连接OC,
