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1、,概率论与数理统计第七讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,问题的提出,在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如:已知圆轴截面直径 D 的分布,2.4 随机变量函数的分布,求截面面积 的分布。,又如：已知 t=t0 时刻噪声电流 I 的分布，,求功率 W=I2R(R为电阻)的分布等。,一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y=g(X)(设 g 是连续函数)的分布。,这个问题无论在理论上还是在实实际中都非常重要。,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值-1，0，1，2 时，Y 取对应值 4，1，0 和 1。,由 PY=0=PX=1=0.1，PY=1=PX=0+PX
2、=2=0.3+0.4=0.7，PY=4=PX=-1=0.2.,例1：设随机变量 X 有如下概率分布：,求 Y=(X 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,一般地，若X是离散型 随机变量，概率分布为,如果 g(x1),g(x2),g(xk),中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同(不妨认为从小到大)的 y1,y2,yi,.,把 yi 所对应的所有xk(即yi=g(xk)的 pk相加，记成 qi,则 q1,q2,qi,就是Y=g(X)的概率分布。,例2：在应用上认为:单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数 XP(5)，试求随机变量Y=|
3、X-5|的概率分布。,解：由于X的所有可能取值为0,1,2,对应的概率分布为,及Y=|X-5|可知，Y 的所有可能取值为0,1,2,。且对每个 i，当 0 i 5时，有 k=5+i 和k=5-i 两个 k 值与 i 对应,使|k-5|=i;,当i=0 或 i6 时，只有一个 k 值与 i 对应，使|k-5|=i。于是，Y的概率分布为：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,解：设 Y 的分布函数为 FY(y)，则,例3：设随机变量X 有概率密度,求 Y=2X+8 的概率密度。,于是Y 的密度函数,注意到,得,求导可得,当 y0 时,例4：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：
4、设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故当 y0时，FY(y)=0；,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到,在求P(Yy)的过程中,关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式。例如:用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y。,这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY(y)。,这是求随机变量函数 Y=g(X)的分布函数的一种常用方法。,例5：设随机变量X的概率密度为,求 Y=sinX 的概率密度。,解：注意到,当 y0 时，FY(y)=0；,当 y1时，FY(y)=1
5、；,当 0 y 1时,而,对 FY(y)求导，得,所以,定理的证明与前面的解题思路类似。,其中 x=h(y)是 y=g(x)的反函数，,定理1:设 X是一个取值于区间a,b,具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量,又设 y=g(x)处处可导的严格单调函数,记(,)为g(x)的值域，则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量，概率密度为,例6：设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,易知0 X1.在区间(0,1)上，函数 ln X 0，,故 Y=-2ln X 0,解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),故当 y0时，FY(y)=0；,已知 X 在(0,1)上服从均匀分布，,当y0时，FY(y)=P(Yy)=P(-2lnX y)=P(X e(-y/2),得,得,本节介绍随机变量函数的分布问题。对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时,关键一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值 X G 的形式，然后利用 X 的分布求 P g(X)y。,小结,
