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1、,概率论与数理统计第九讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,3.4 边缘分布,3.4.1 边缘分布函数,二维随机向量(X,Y)作为一个整体,有分布函数 F(x,y)，其分量 X与Y 都是随机变量，有各自的分布函数，分别记成 FX(x)和 FY(y)，,分别称为X的边缘分布函数和Y的边缘分布函数；称 F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。,FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)，FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y).,X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数的是相对于(X,Y)的联合分布而言的。同样地，(X,Y)的联合分布函数 F(x,
2、y)是相对于(X,Y)的分量X和Y的分布而言的。,注意:,求法,则 X 的边缘概率分布为,Y 的边缘概率分布为,设(X,Y)是二维离散型随机向量，联合概率分布为,3.4.2 二维离散型随机向量的边缘分布,解：,例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的边缘分布。,把这些数据补充到前面表上,例2：同理，考虑从1,2,3,4中取数的例子，即分布,可得X和Y的边缘分布为,于是，随机变量X,Y各自的分布为,3.4.2 连续型随机向量的边缘概率密度,若(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)，则,X的边缘概率密度为,Y 的边缘概率密度为,例3：若(X,Y)服从矩形区域 axb，cyd上均匀
3、分布，则边缘概率密度分别为,注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一定有上述结论。,例4：设(X,Y)服从单位圆域 x2+y21上的均匀分布。求X和Y的边缘概率密度。,解:,当|x|1时,当-1x1时,(注意积分限的确定方法),熟练时，被积函数为零的部分可以不写。,由X 和Y 在问题中地位的对称性,将上式中的 x 改为 y，得到 Y 的边缘概率密度,例5：设(X,Y)的概率密度为,求(1).c的值;(2).边缘密度。,=5c/24=1,c=24/5;,解:(1).,解:(2),注意积分限,注意取值范围,注意积分限,注意取值范围,即,例6：设(X,Y)求X和
4、Y 的边缘概率密度。,解：由,说明,对于确定的 1,2,1,2,当 不同时,对应不同的二维正态分布。但它们的边缘分布是相同的，所以在考虑多维随机向量时，不但要考虑它们的边缘分布，还要考虑随机向量各分量之间的关系。,X与Y之间的关系的信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的。在下一章将指出：对于二维正态分布而言，参数 正好刻画了X和Y之间关系的密切程度。因此，仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布)一般不能确定(X,Y)的联合概率密度函数(或概率分布)。,小结,本讲首先介绍二维随机向量的边缘分布的概念，二维离散型随机向量边缘分布计算，二维连续型随机向量边缘概率密度的计算；然后介绍条件分布的概念，离散型随机向量的条件分布的计算，连续型随机向量的条件概率密度的计算等。,
