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1、两个随机变量的相互独立性,二维随机变量的边缘分布,二维随机变量的边缘分布,在已知二维随机变量的联合分布的前题下，有时候我们会,感兴趣其中某个变量的分布，（称作边缘分布）希望能由已知,设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为,则随机变量 X 的分布函数为：,随机变量 Y 的分布函数为：,分别称 为二维随机变量关于 X 和关于 Y,的边缘分布函数。,的联合分布求得。,二维离散型随机变量的边缘分布,二维离散型随机变量的边缘分布是一维离散型分布,例1 设二维随机变量 的联合分布律为：,二维连续型随机变量的边缘分布,关键是由二维随机变量的联合分布密度求出关于两个随机,变量的边缘分布密度。,一方面，我们有
2、：,另一方面，我们有：,所以，,同理，,二维连续型随机变量的边缘分布是一维连续型分布,例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：,别处,求分别关于 X，Y 的边缘分布密度及边缘分布函数。,解：关于 X 的边缘分布密度,当 或 时，,当 时，,例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：,别处,求分别关于 X，Y 的分布密度及分布函数。,当 时,当 时，,当 时,所以,例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：,别处,求分别关于 X，Y 的分布密度及分布函数。,解：.关于 Y 的边缘分布密度,当 或 时，,当 时，,例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：,别处,求分别关
3、于 X，Y 的分布密度及分布函数。,当 时,当 时，,当 时,所以,例3 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：,别处,求分别关于 X，Y 的分布密度。,解：关于 X 的分布密度,当 或 时，,当 时，,例3 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为：,别处,求分别关于 X，Y 的分布密度。,解：关于 Y 的分布密度,当 或 时，,当 时，,D 是等可能的，求该点到 Y 轴的距离的分布函数。,例4 设点（X，Y）落有曲线 与 X 轴之间的区域,解：由题意，（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布。,D,因为,所以,当 或 时，,当 时，,点到 Y 轴的距离的分布即坐标 X 的分布，,D 是等可
4、能的，求该点到 Y 轴的距离的分布函数。,例4 设点（X，Y）落有曲线 与 X 轴之间的区域,D,当 时,当 时，,当 时,所以，,由上面介绍我们看到：由联合分布密度,可求出两个边缘分布密度 和,反过来，由两个边缘分布密度 和,能否求出联合分布密度 呢？,一般来说是不行的！,例如：设（X，Y）服从二维正态分布，,其密度函数为：,反过来，由两个边缘分布密度 和,一般不能得出联合分布密度,可求得，它的两个边缘分布分别是：,不能确定,两个随机变量的相互独立性,定义,X 与 Y 相互独立,判别法1,离散型随机变量 X 与 Y 相互独立,判别法2,设 X，Y 是两随机变量，若对实轴上的任意两个集合,则称
5、 X 与 Y相互独立。,连续型随机变量 X 与 Y 相互独立,判别法3,均有,例如：,与 非相互独立。,与 是相互独立。,又如例 2 中：,别处,别处,别处,X 与 Y 相互独立。,又如例 3 中：,X 与 Y非相互独立。,别处,别处,别处,例5 设二维随机变量 和 的联合分布密度是：,问 为何值时，与 相互独立？,这时可验证 与 相互独立。,相互独立，求 X，Y 的联合密度函数。,解：已知,因为 X 与 Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为,离散型随机变量的条件分布,条件分布律具有一维分布律的性质,联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概率除以边缘分布的概率即可.,连续型随机变量的条件分布密度,2.设随机变量X 与 Y相互独立，且它们的分布密度分别如下，,求 X，Y 的联合密度函数。,其它,其它,求 X，Y 的联合密度分布列。,1.设随机变量X 与 Y相互独立，且它们的分布律分别如下，,补充作业题,再见！,
