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1、,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为,则在,复习:,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,该邻域内有:,拉格朗日余项.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,麦克劳林级数.,定理1,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式余项满足:,证明,令,设函数 f(x)在点
2、 x0 的某一邻域,内具有,定理2,若 f(x)能展成 x 的幂级数,的,且与它的麦克劳林级数相同.,证,则,显然结论成立.,则这种展开式是,唯一,设 f(x)所展成的幂级数为,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,例1,展开成 x 的幂级数.,解,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,将函数,例2
3、,展开成 x 的幂级数.,解,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,将,例3,展开成 x 的幂级数,其中m,为任意常数.,解,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数 m,将函数,易求出,推导,推导,则,为避免研究余项,设此级数的和函数为,称为,说明：,(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.,(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式,由此得,二项展开式.,二项式定理.,就是代数学中的,对应,的二项展开式分别为,例3 附注,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4,展开成 x 的幂级数.,解,把 x 换成,得
4、,以唯一性为依托，将所给函数展开成 幂级数.,将函数,因为,例5,展开成 x 的幂级数.,解,从 0 到 x 积分,得,定义且连续,域为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,将函数,例6,展成,解,的幂级数.,将,例7,展成 x1 的幂级数.,解,将,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当 m=1 时,思考与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不同?,提示:,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,后者必需证明,补充题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解,x 1 时,此级数条件收敛,因此,2,在x=0处展为幂级数.,解,因此,将,
